经济应用数学课件6.3逆矩阵和初等行变换.ppt

上页 下页 铃 结束 返回 首页 经济应用数学 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 经济应用数学 * 6.3 逆矩阵与初等行变换 一、逆矩阵的概念 二、逆矩阵的性质与定理 三、矩阵的初等行变换与矩阵的秩 四、例题 一、逆矩阵的概念 定义6．10 对于矩阵 Ａ，如果存在矩阵 Ｂ ，满足 AB=BA，则称矩阵 A 为可逆矩阵，简称 A 可逆，称B 为A 的逆矩阵 ，记 作 A-1 ，即 B=A-1 ． 由此可知，矩阵A与B 是同阶方阵． 如果矩阵A是可逆的，则A的逆矩阵是惟一的． 二、逆矩阵的性质 性质1 若矩阵A是可逆的，则A-1也可逆， 且（A-1）-1= A 性质2 若矩阵A是可逆的，数 k≠0 ,则kA也可逆， 且 且 性质4 若矩阵A是可逆的，则 也可逆，且 性质3 若矩阵 和 是可逆的，则 也可逆， 定理6．３ 阶矩阵 是可逆矩阵的充分必要条件是 若 ，称矩阵 为非奇异矩阵，否则为奇异矩阵． 定理6．４ 设 与 是两个 阶矩阵，则乘积矩阵 的行列式等于矩阵 与 的行列式的乘积，即 三、矩阵的初等行变换与矩阵的秩 1． 初等行变换 定理6．４ 设 与 是两个 阶矩阵，则乘积矩阵 定义6．11 (初等行变换)下面三种变换称为矩阵的 初等  行变换 (1) (对换变换)交换矩阵某两行的位置； (2) (倍乘变换)用一个非零数乘矩阵的某一行的所有元素； (3) (倍加变换)将矩阵的某一行的倍数加到另一行的对应元素上去． 矩阵A经过初等行变换后变为B，用Ａ→Ｂ　表示． 定理6．5 任何矩阵Ａ经过一系列的初等行变换可化 成阶梯形矩阵（称为A的阶梯形矩阵）． 2．矩阵的秩 定义6．12 矩阵A的阶梯形矩阵中非零行的个数， 称 为矩阵A的秩，记作秩(A)或r(A) 定理6．6 矩阵的初等行变换不改变矩阵的秩． 定义6．13 设A 是n阶矩阵，若r(A) =n，则称A 为满 秩矩阵， 若r(A) n，则称A为降秩矩阵． 定理6．7 n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是A 为满秩矩阵，即r(A)=n 四、例题 例 3．1 设矩阵 即 所以矩阵是可逆的， 例3．2 设矩阵 与 （１）判定矩阵 是否可逆； ， ， ． （２）求 解 　（１）因为 所以矩阵 与 都是可逆的． （２） 2 A 例3．3 设矩阵 ，求其逆矩阵 解 即 * * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 经济应用数学 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 经济应用数学 *