高考★圆锥曲线★的基本公式推导.docx

圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识 1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x2 换成xx ，y2 换成yy ，x 换成(x+x )/2,y 换成(y+y )/2. 0 0 0 0 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 x 2 ? y 2 ? 1上一点 P( x , y ) 处的切线方程是 xx yy ?0 ? 0 ? 1。 a 2 b2 0 0 a 2 b2 x 2 y 2 xx yy ②过椭圆 ? a 2 b2 ? 1外一点 P( x , y ) 所引两条切线的切点弦方程是 0 ? 0 ? 1。 a 2 b2 00③椭圆 x 2 ? 0 0 a 2 y 2 ? 1与直线 Ax ? Bx ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 b2 B2b2 ? C 2 ? 0 (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0 的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： x 2 y 2 xx yy ①双曲线 ? a 2 b2 ? 1上一点 P( x , y ) 处的切线方程是 0 ? 0 ? 1。 a 2 b2 00x 2 y 2 xx yy 0 0 ②过椭圆 ? a 2 b2 ? 1外一点 P( x , y ) 所引两条切线的切点弦方程是 0 ? 0 ? 1。 a 2 b2 00③椭圆 x 2 0 0 a 2 y 2 b2 ? 1与直线 Ax ? Bx ? C ? 0 相切的条件是 A2 a 2 B2b2 ? C 2 ? 0 【1-3】抛物线的切线方程： 物线 y 2 ? 2 px 上一点 P( x , y 0 0 ) 处的切线方程是 yy 0 ? 2 p( x ? x ) 0 ②过抛物线 y 2 ? 2 px 外一点 处所引两条切线是 yy 0 ? 2 p( x ? x ) 0 ③抛物线 y 2 ? 2 px 与直线 Ax ? Bx ? C ? 0 相切的条件是 pB 2 ? 2 AC 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第 1 种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 P( x , y 0 0 ) 的 切 线 方 程 为 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) , 联立方程，令 ? ? 0 ,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式 xx0 ? yy0 ? ( x0 )2 ( y )2 ??0 1 ? ? a 2 b2 （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） a 2 b2 2、第 2 种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于 M、N 两点坐标分别为(x , y 1 1 ) 、(x , y 2 2 ) ，中点P ( x , y ) 0 0 ? x 2 y 2 ? 1 ? 1 ? 1,? ? (1) 1?? a 2 b 2 1 ? 则有? ? (1) ? (2) ，得 x 2 x 2 2 y 2 ? y 2 1 2 ? 0. 2?? x2 ? 2 ? y 2 a 2 b2 2 ? 1.? ? (2) y ? y ? a 2 b 2 y ? y b2  y ? y  12y ? y 2 y y 1 2 21? x2 ? x1 ? 2 1 x ? x ? ? a 又? k MN ? x2 ? x1 , x ? x ? 0 ? 0 . 2x x 22 1 2 1 2 y b2 2 1 1 2 0 0 y b2 ? k ? 0 ? ? MN x a 2 0 (弦中点公式的椭圆基本表达式。双曲线则是k ? 0 ? ) MN x a 2 0 b2 x 当 M、N 无限趋近时，P 在椭圆C 上。即得切线斜率k ? ? ? 0 a2 y 0 3、第三种证明思路(注意：仅供理解，考试使用可能分 证明：由 2（圆锥曲线切线证明）（同一目录下文章）可知圆上一点的切线方程。 坐标变幻，令x ? a ? x, y = b ? y , 因为圆方程为x2 +y2  ? 1,从而得到变形后椭圆表达式 ?x ?2 ?y ?2 ? ? 1 a2 b2 x x y y 因为圆切线方程为xx 0 +yy 0 ? 1从而得到椭圆切线方程 0 ? a2 0 ? 1 b2 附言：第 1 种证明思路中，抛物线证明过程中稍微有些不同。③ ①切线斜率可用导数表示。 ②得到式子后，要利用 y 2 0 ? 2 px 把 y 0 2 消去。 【公式二：曲线外一点引切线，过切点作直线的