高考数学线性规划题型总结.docx

线性规划常见题型及解法 一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题 ??2x ? y ? 2 ? 例 1、设变量 x、y 满足约束条件?x ? y ? ?1 ，则 z ? 2x ? 3y 的最大值为 。 ?? x ? y ? 1 ? 解析：如图 1，画出可行域，得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4)处，目标函数z 最大值为 18 点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想的重要手段之一。 ??x ? 2 ? 习题 1 、 若 x、 y 满足约束条件 ? y ? 2 ， 则 z=x+2y 的取值范围是 （ ） ??x ? y ? 2 ? Ax + y =2A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D 、（ A x + y =2 解： 如图， 作出可行域， 作直线 l： x+2y ＝ 0 ， 将 l 向右上方平移， 过点 A（ 2,0 ） 时， 有最小值 2 ， 过点 B（ 2,2 ） 时， 有最大值 6 ， 故选 A 二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题 ??x ? 1, ? 例 2、已知?x ? y ?1 ? 0, 则 x2 ? y2 的最小值是 . ??2x ? y ? 2 ? 0 ? 解析：如图 2，只要画出满足约束条件的可行域，而 x2 ? y2 域内一点到原点的距离的平方。由图易知 A（1，2）是满最优解。 x2 ? y2 的最小值是为 5。 点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘 表示可行足条件的 目标关系 几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。 ??2x ? y ? 2 ? 0 ? 习题 2 、已知 x、y 满足以下约束条件 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ， 则 z=x 2 +y 2 的最大值和 ??3x ? y ? 3 ? 0 ? 最小值分别是（ ） A、 13 ， 1 B、 13 ， 2 C、 13 ， 4 5  D、 13 ， 2 55 2 5 解： 如图， 作出可行域,x 2 +y 2 是点（ x， y） 到原点的 距离的平方， 故最大值为点 A（ 2,3 ） 到原点的距离的 平方 ，即 |AO| 2 =13 ，最 小值为原点到直线 2x ＋ y－ 2=0 的距离的平方 ，即 为 4 ， 5 选 C ?练习 2、已知 x ，y 满足? x ? 2 y ? 5 ? 0 ，则 y 的最大值为 ，最小值为 ． ? ? x ? 1, y ? 0 x ?? x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 2，0 三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题 ?x ? y ? 2 ? 0 ?例 3、在平面直角坐标系中，不等式组?x ? y ? 2 ? 0 表示 ? ?? y ? 0 ? 域的面积是（）(A) 4 2 (B)4 (C) 2 2 (D)2  的平面区 y y ?x ? y ? 2 ? 0 ?解析：如图６，作出可行域，易知不等式组?x ? y ? 2 ? 0 表示的平面区域是一个三角形。容 ? ?? y ? 0 ? 易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２） ， B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为： S ? 1 | BC | ? | AO |? 1 ? 4 ? 2 ? 4. 从而选Ｂ。2 2 点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。 ??2x ? y ? 6 ? 0 ? 习题 3 、不 等式组 ?x ? y ? 3 ? 0 表示的平 ?? y ? 2 ? 的面积为 （ ） A、4 B、1 C、5 D、无 解：如 图，作 出可行域，△ ABC 的面积求， 由梯形 OMBC 的面积减去梯形面积即可， 选 B 四、已知平面区域，逆向考查约束条件。  面 区 域 穷大 即 为 所OMAC 的 例 4、已知双曲线 x2 ? y2 ? 4 的两条渐近线与直线 x ? 3 围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（） ? ? ? ?? x ? y ? 0 ? x ? y ? 0 ? x ? y ? 0 ? x ? ? ? ? ? (A) ?x ? y ? 0 (B) ?x ? y ? 0 (C) ?x ? y ? 0 (D) ?x ? y ? 0 ? ? ? ??0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? x ? 3 ?0 ? ? ? ? ?解析：双曲线 x2 ? y2 ? 4 的两条渐近线方程为 y ? ? x ，与直围成一个三角形区域（如图 4 所示）时有? x ? y ? 0 。 ? ?x ? y ? 0 ??0 ? x ? 3 ? 线 x ? 3 点评：本题考查双曲