课件的环同态.ppt

§6.7 环 同 态 6.7.1 理想 定义6.7.1 设R是一个环，R的一个子集N说是R的一个理想子环，简称理想，如果 （1） N非空； （2） 若a∈N，b∈N，则a-b∈N; （3） 若a∈N,х∈R,则aх∈N,хa∈N。 从定义即可看出，理想一定是子环，但子环未必是理想。 例6.7.1 设I为整数环I,mI是I的子环，且是I的理想。因为 mI非空；若a∈mI，b∈mI， 则a-b∈mI; 若a∈mI,x∈I,则aх∈mI,хa∈mI. 例6.7.2设R为实数域上的二 阶正方矩阵环，形如 的所有元素组成的子集为N， 则N为R的子环，但不是R的理想。 比如，取x= ∈R，a= ∈N， 则 xa = = ?N。 任意环R都有两个显然的理想：N={0}和N=R，称为平凡理想。 结论6.7.1 任意体R只有平凡理想。 证明：任取R的理想N，若N={0}，则得证。否则，往证N=R。 因N?{0}，故存在a∈N，且a?0。于是有a的逆元素a-1∈R。由N为理想知，有a-1 a∈N，即R中的1∈N。从而对R中任意元素x，都有x = 1x∈N。 因此，R?N。故N=R。 理想子环在环论中的地位，与正规子群在群论中的地位相当。 结论6.7.2 设R是有壹的交换环,a∈R,则aR={ar|r∈R}是R的理想，而且包含a。 证明：（1）aR非空，因为0=a0∈aR，a=a1∈aR。 (2)若x∈aR，y∈aR，则存在r1，r2∈R，使得x=ar1，y=ar2，故 x-y = a（r1-r2） ∈aR。 (3) 若z∈aR，r∈R，则存在r3∈R，使得z = ar3， 故zr = a r3 r = a（r3 r） ∈aR， rz = ra r3 = a（r r3） ∈aR。。 因此，aR是含a的理想。 定义6.7.2 设R是有壹的交换环，a∈R,则aR称为由a生成的主理想，记为（a）。 显然(0)={0},(1)=R。 而(a)=aR可以说是包含a的所有“倍元素”的子环，例如在整数环I中,mI就是m的所有倍数作成的理想。 结论6.7.3 环R的主理想（a）是R中包含a的理想中最小（在集合包含关系下）的理想。 证明:设N是R中包含a的任一理想,往证(a)?N。 任取x∈(a),即x∈aR,则存在r∈R,使得x=ar。由a∈N,r∈R,N是理想知,ar∈N,即x∈N。 所以（a）?N。 6.7.2 环 中 合 同 关 系 定义6.7.3 设R是一个环，N是一理想。对于a，b∈R，如果a-b=n∈N，或a=b+n，n∈N， 则称a和b模N合同，记为a≡b （mod N）。 这不过是加法群R中模加法子群N的合同关系。所以可将R分为N的陪集，N的一个陪集叫N的一个剩余类。若a是R的任意元素，则包含a的剩余类可以写成a+N的形式，a和b在同一剩余类，当且仅当a和b模N合同 。 如果R是有壹的交换环，而N是主理想，N=（c），则a和b模N合同也可以说是模c合同，记为 a≡b（mod c）。 例6.7.3 设R为整数环I，N=（m）=mI， 则a≡b（mod N）, 即a-b∈mI或m∣a-b，或a≡b（mod m）。 和在整数合同中讨论的一样，我们有 定理6.7.1 在环R中，对于模N，有 （1） 反身性：a≡a; （2） 对称性：若a≡b， 则b≡a; （3） 传递性：若a≡b，b≡c，则a≡c; （4） 加法同态性：若a≡b，c≡d，则 a±c≡b±d。 （5） 乘法同态性：若a≡b，c≡d，则ac≡bd。 证明：（1）至（3）在群的讨论中已证，这不过 是加法群R模加法子群N的合同性。 这里（4）是说,若a+N = b+N，c+N = d+N，则a±c+N = b±d+N。 事实上，a±c+N = a+N±（c+N） = b+N±（d+N）= b±d+N。 现证（5），因为a ≡ b，c≡d，故a = b+n1， c = d+n2，n1∈N，n2∈N。 于是ac =bd+ bn2 + n1d + n1n2.但N是一个理想,故bn2∈N,n1d∈N,n1n2∈N,因而bn2+n1d+n1n2∈N，故ac≡bd，于是（5）得证，这其实是乘法的同态性。 6.7.3 环 同 态 与 同 构 ?由于环是有加、乘两种运算的代数系统，因此定义同态映射时必须同时保持加、乘的同态性。 定义6.7.4 设R是一