4-1(1)线性系统的能控性和能观性.ppt

4 线性系统的能控性和能观性 本章知识点 本章讨论线性定常系统的定性分析--结构性问题和系统综合问题,主要内容有: 结构性问题--能控性、能观性、对偶原理 能控规范形和能观规范形 能控性、能观性和稳定性一样，是控制系统的重要性能，是实现各种控制和状态估计的基础，在控制理论中起着核心的作用。 状态方程 x’=Ax+Bu 输出方程 y=Cx 控制器 u x y 图 状态反馈控制 设计控制器u(t)=kx(t)，使状态x(t)达到预期的状态。但首要的问题是，系统的状态能否被控制？即输入能否控制状态的变化？如果能控制，才谈得上采用某个u(t)将x(t)控制到新状态。如果不能控制，则无论采取什么控制信号也不可能达到目的。这便是系统的能控性问题。 另一方面，为了实现各种状态反馈控制，系统的全部状态应该能够被测量，但实际系统的状态x(t)通常是难以测量的，往往需要从能够被测量的输出y(t)中估计出来。状态估计的任务就是设计状态估计器，从输出y(t)中估计出状态x(t)，以实现状态反馈。但首要的问题是，从输出y(t)中能否估计出状态x(t)？如果y(t)不能完全反映系统的状态x(t)，也就无法实现状态估计，这便是系统的能观性问题。 状态方程 x’=Ax+Bu 输出方程 y=Cx 控制器 u x y 图 采用状态估计器的状态反馈控制 状态估计器 x ? 4.1 线性连续系统的能控性 本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和 输出能控性问题。 关键问题: 1. 基本概念: 状态能控性和输出能控性 2. 基本方法: 状态能控性和输出能控性的判别方法 4.1.1 能控性的直观讨论 状态能控性反映输入u(t)对状态x(t)的控制能力。 如果状态变量x(t)由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都 能由输入(控制项)来影响,并能在有限时间内控制到空间原点,那 么称系统是能控的,或者更确切地说,是状态能控的。否则,就称系 统为不完全能控的。 下面通过实例来说明能控性的意义 。 例 某电桥系统的模型如图4-1所示 。 该电桥系统中,电源电压u(t)为输入变量,并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。 试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。 图4-1 电桥系统 若图4-1所示的电桥系统是不平衡的, 两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制,则系统是能控的。 由电路理论知识可知,若图4-1所示的 电桥系统是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4), 电容C2的电压x2(t)是不能通过输入 电压u(t)改变的,即状态变量x2(t)是 不能控的,则系统是不完全能控的。 由上述状态方程可知,状态变量x2(t)的值,即电桥中电容C2的电压,是自由衰减的,并不受输入u的控制。 因此,该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。 由该状态方程可知,状态变量x1(t)和x2(t)都可由输入u单独控制, 可以说,x1(t)和x2(t)都是单独能控的。 对该状态方程求解后可得 x1(t)-x2(t)=e-3t[x1(0)-x2(0)] 即状态x1(t)和x2(t)总是相差一个固定的,不受u(t)控制的函数值。 补充例 给定系统的状态空间模型为 因此,x1(t)和x1(t)不能在有限时间内同时被控制到零或状态空间中的任意状态,只能被控制在满足由状态方程解所规定的状态空间中的曲线上。 所以,虽然状态x1(t)和x2(t)都是单独能控的,但整个系统并不能控。 前面2个例子,可通过直观分析来讨论系统的状态能控性,但 对维数更高、更复杂的系统,直观判断能控性是困难的。 下面将通过给出状态能控性的严格定义,来导出判定系统能 控性的充要条件。 4.1.2 状态能控性的定义 由状态方程 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 及其第3章的状态方程求解公式可知, 状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入,与输出y(t)无关。 因此研究讨论状态能控性问题,即输入u(t)对状态x(t)能否控制的问题,只需考虑系统在输入u(t)的作用和状态方程的性质,与输出y(t)和输出方程无关。 对线性连续系统,我们有如下状态能控性定义。 定义4-1 若线性连续系统 x’(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) 对初始时刻t0(t0?T,T为时间定义域)和初始状态x(t0), 存在另一有限时刻t1(t1t0,t1?T), 可以找到一个控制量u(t), 能在有限时间[t0,t1]内把系统状 态从初始状态x(t0)控制到原点,即x(t1)=0,则称t