近世代数 教学大纲.docx

课程编号： 003206 课程中文名称：近世代数 32 学时/ 2 学分 英文译名：Modern Algebra 适用领域：计算机专业研究生 开课单位：理学院 教学目的：随着计算机和信息科学的飞速发展，许许多多的领域要处理离散的数学结构，甚至有些学科要求较深的近世代数知识，许多工科专业的研究生急需开设《近世代数》课程。本课程学习近世代数的基础知识，侧重计算机和信息科学方面。内容包括群、环、域的基本知识。通过本课程的学习，学生可以掌握在计算机科学领域所需要的近世代数的基础知识。 预备知识或先修课程要求：熟悉线性代数或高等代数基本知识。 教学方式及学时分配：课堂授课，32学时。 学时 教学内容 教学方式 4 代数结构的基本概念 授课 12 群论 授课 10 环与域 授课 6 扩域和有限域理论 授课 教学主要内容以及对学生的要求：本课程要求学生掌握如下近世代数基础知识。 1、代数结构的基本概念：映射、代数运算及运算律、同态及同构、集合的分类及等价关系； 2、群论：群的定义、群的同态、交换群、置换群、循环群、子群及其陪集、正规子群及商群； 3、环与域：环和域的基本概念、无零因子环的特征、子环、环的同态、多项式环、理想及商环、极大理 想、商域； 4、扩域和有限域理论：扩域、单扩域、多项式的分裂域、有限域。 内容摘要：(近世代数的应用举例) (1) 编码问题 信息依赖于数字通讯, 许多重要场合传递的数字不可出错, 但受设备, 天气, 操作等方面的影响, 在数字传送过程中又难免不出错, 如何解决这一问题呢？ 解决此问题的第一个方法是判别所接受到的信息是否有错, 若有错要求重发这一信息. 为了接收者检验错误, 可对待发的信息进行适当的加工. 为此我们简述几个名词. 我们称一个位二进制数码表示的信息为位信息码. 对每个信息码附加位用于检错的二进制数码构成一个位码词.这种数码称码. 由信息码得到码词的过程称为编码; 接收者收到码词后经过检错后取出信息的过程称为译码. 最简单的检错码的方法是奇偶检错码. 如下表, 码词的设计是使码词的数字和为偶数: 信息码 码词 00 000 01 101 10 110 11 011 第二种方法是设计一种纠错码, 使接收者能按事先确定的规则纠正收到信息中可能出现的错误. 最简单的纠错码是重复码. 如下表, 信息码被重复3次: 信息码 码词 0 000 1 111 接收者只要检查三位数字是否相同, 不同时以多纠少. 编码问题就是设计更有效更可靠的检错码和纠错码. 方法很多, 有用群论方法设计的群码. 下面我们简单地介绍多项式在这方面的应用--多项式编码. (2) 多项式编码的方法 下面我们设计一种码. 设待传送的信息码为 , 其对应的信息码多项式为 ; 又设码词 对应的码词多项式为 . 现在, 我们给出一个方法将每个信息码多项式按一定的规则得到码词多项式, 即将每个信息码变为码词. 首先, 在内任意选定一个次多项式作为生成多项式. 下式为除(次多项式)的带余除式: (或). 我们取为码词多项式.由于中没有正负之分, , 从而. 于是, 接收者可以通过检验是否成立来判断码词是否正确. 最后我们指出, 在实际当中在两端进行的多项式运算当然不是手工做的, 都是由根据和码要求特殊设计的线路来完成的. 即编码时, 输入人员只需输入信息码, 线路会将其转换成码词. 收时, 也由线路来检验码词是否有错, 并进行必要的纠码. 考核方式：闭卷，笔试。 课程主要教材：近世代数基础．范崇金．哈尔滨工程大学出版社，2003 主要参考书目：Modern Algebra with Applications．Gilbert W J．John Wiley Sons, 2004