矩阵论A 教学大纲.docx

课程编号：003203 课程中文名称：矩阵论A 48学时/ 3学分 英文译名：Matrix Theory 适用领域：工科各专业 教学目的： 矩阵理论是高等学校理、工科研究生的一门重要的基础课程，作为一门基础工具，矩阵论在数学学科与其它科学技术领域都有广泛的应用。矩阵理论是在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。 本课程要求学生掌握线性空间的相关理论，了解和掌握多项式矩阵的Smith标准型、一般方阵的Jordan标准型的化简；了解Eclide空间与Hermite二次型的有关理论与方法；理解向量与矩阵的范数概念，掌握矩阵的幂级数与方阵函数的概念与理论及其相关运算；掌握矩阵的分解，了解矩阵的广义逆、群逆，D逆等概念，并了解矩阵的直积和关于矩阵论的应用等相关概念。通过对本课程的学习，使学生进一步掌握数学的基本思想方法，从而提高分析问题与解决实际问题的能力。 从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。 矩阵论的教学方式由教师授课，教师授课学时为32学时。 教学主要内容及对学生的要求： 一，线性空间与线性变换 8学时 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义；理解线性映射及线性变换的概念，掌握线性映射及变换的矩阵表示。掌握线性映射的值域、核等概念；理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质。 二、内积空间 6学时 理解内积空间的概念，了解内积空间的同构的含义，会判定一个空间是否为内积空间的方法，掌握酋空间与欧式空间的异同；掌握Hermite矩阵的概念，掌握正交基及子空间的正交的相关概念和性质；掌握酉变换和正交变换的概念及性质及判定方法；掌握幂等阵和正交投影的概念和相关性质。 三、矩阵的对角化与若当标准形 8学时 理解和掌握方阵的特征值和谱的概念，掌握矩阵的特征值的代数重数和几何重数的概念，掌握单纯矩阵的概念及可对角化的判别方法；理解和掌握Hermite二次型的定义及其相关性质。掌握Hermite二次型正定性的相关概念和判定方法；理解和掌握-矩阵的相关概念和性质；掌握行列式因子、不变因子和初等因子的概念和求法，理解和掌握Smith标准形的概念和性质，并会求Smith标准形，理解和掌握矩阵的Jordan标准形的概念和相关性质，并要求熟练掌握Jordan标准形的求法；理解和掌握矩阵的广义特征值的概念和相关性质，并掌握广义特征值的求法；掌握矩阵的瑞利商的概念及相关性质。 四、矩阵分解 6学时 掌握矩阵的三角分解和UR分解；满秩分解和单纯矩阵的谱分解及矩阵的奇异值和极分解。 五、向量与矩阵的重要数字特征 4学时 理解向量范数、矩阵范数；有限维线性空间上向量范数的等价性；向量范数与矩阵范数的相容性。 六、矩阵的广义逆 4学时 理解和掌握广义逆矩阵和Moore-Penrose逆A＋及其D逆的概念 ；并掌握逆及其应用 七、矩阵分析 6学时 理解向量和矩阵的极限的概念；掌握矩阵幂级数收敛的判定方法；理解；会求矩阵的微分与积分，相关矩阵分析应用举例 。 八、矩阵的直积 4学时 理解和掌握矩阵的克罗内克积、直积的概念和性质，并会简单的克罗内克积、直积应用 九、矩阵函数 理解和掌握矩阵函数的概念及相关性质，并掌握一些常见的矩阵幂级数展开式；掌握并会求解矩阵多项式，化零多项式和最小多项式，理解与掌握Cayley-Hamilton定理及相关应用；会用多种方法计算简单的矩阵函数。 对学生的要求： 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准