六年级奥数--抓“不变量”解题.docx

PAGE PAGE 1 六年级奥数——抓“不变量”解题 一、知识要点 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。 二、精讲精练 【例题 1】 43 7 将 的分子与分母同时加上某数后得 ，求所加的这个数。61 9 解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是 18， 所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少 18，切分子是 7 分母的 ，由此可求出新分数的分子和分母。” 9 7 分母：（61-43）÷（1－ ）＝81 9 分子：81×7 9  ＝63 81-61＝20 或 63-43＝20 43 7 解法二： 的分母比分子多 18， 的分母比分子多 2，因为分数的 与分母的差不变，所以61 9 7 将 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9 倍。9 7 ① 9 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 7 7 7×9 63 ② 约分后所得的9 在约分前是： ＝ ＝ 9 9×9 81 ③ 所加的数是 81-61＝20 答：所加的数是 20。 练习 1： 1、 分数 97 2 181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是多少？ 5 2、 分数 1 3 的分子、分母同加上一个数后得  ，那么同加的这个数是多少？ 3、 3 13 5 5 的分子、分母加上同一个数并约分后得  ，那么加上的数是多少？ 19 7 4、 将58 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 2  ，那么减去的数是 79 3 多少？ 【例题 2】 4 2 将一个分数的分母减去 2 得 ，如果将它的分母加上 1，则得 ，求这个分数。 5 3 4 解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去 2 得 ” 5 5 2 3 可知，分母比分子的 倍还多 2。由“分母加1 得 ”可知，分母比分子的 倍少 1， 4 3 2 从而将原题转化成一个盈亏问题。 3 5 分子：（2+1）÷（ － ）=12 2 4 3 分母：12× -1＝17 2 解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。 2 4 12 4 12 ① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差 3。 ＝ ＝ ， ＝ 3 6 18 5 15 ② 原分数的分母是： 18-1＝17 或 15+2＝17 练习 2：  12 答：这个分数为17 。 7 3 1、将一个分数的分母加上 2 得 ，分母加上 3 得 。原来的分数是多少？ 9 4 得 得3 42、将一个分数的分母加上 2 ，分母加上 2 。原来的分数是多少？ 得 得 4 5 得 得3 43、将一个分数的分母加上 5 ，分母加上 4 。原来的分数是多少？ 得 得 7 9 得 得5 74、将一个分数的分母减去 9 ，分母减去 6 。原来的分数是多少？ 得 得 8 4 【例题 3】 5 在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于7 。如果在它的分子上减去同一个数， 1 这个分数就等于2 ，求原来的最简分数是多少。 5 10 7解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ， 7 14 1 = 7 。根据题意，两个新分数分子的差应为 2 的倍数，所以分别想10 和 7 的分 2 14 14 14 子和分母再乘以 2。所以 5 10 20 1 7 14 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 7 14 28 2 14 28 17 故原来的最简分数是28 。 解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的 2 倍。所以 5 1 17 （ + ）÷2＝ 7 2 28 练习 3： 17 答：原来的最简分数是28 。 5 1、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同 8 1 一个数，这个分数就等于2  ，求这个分数。 6 2、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同 7 1 一个数，这个分数就等于3  ，求这个分数。 7 3、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一个 9 3 数，这个分数就等于5 【例题 4】  ，求这个分数。 7 3 将一个分数的分母加 3 得 ，分母加 5 得 。原分数是多少？ 9 4 7 21 解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即 9 ＝27 ， 3 21 21 ＝ 。根据题意，两个新分数的分母应相差 2，而现在只相差 1，所以分别将 4 28 27 2172142321422