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流体力学中的三大基本方程 第1页，共32页，编辑于2022年，星期四 1 连续性微分方程 理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述： [单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间质量的累积or增量]=0 第2页，共32页，编辑于2022年，星期四 假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x， 公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化 第3页，共32页，编辑于2022年，星期四 y，z。设控制体中心点处流速的三个分量为 ,液体密度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点M的质点在x方向的分速度为 通过控制体后表面中心点N的质点在x方向的分速度为 第4页，共32页，编辑于2022年，星期四 因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。所以单位时间内沿x轴方向 流出控制体的质量为 于是，单位时间内在x方向流出与流入控制体的质量差为 流入控制体的质量为 第5页，共32页，编辑于2022年，星期四 同理可得在单位时间内沿y，z方向流出与流入控制体的质量差为 故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为： 和 第6页，共32页，编辑于2022年，星期四 ⑵控制体内质量变化： 因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内： 单位时间内，微元体质量增量： （微团密度在单位时间内的变率与微团体积的乘积） 第7页，共32页，编辑于2022年，星期四 ⑶根据连续性条件： 矢量形式： ——三维连续性微分方程 第8页，共32页，编辑于2022年，星期四 ⑴适用条件： 不可压缩和可压缩流体 理想和实际流体 稳态及非稳态流动 ⑵不可压缩性流体的连续性微分方程： or 说明流体体变形率为零，即流体不可压缩。或流入体积流量与流出体积流量相等。 第9页，共32页，编辑于2022年，星期四 ⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， ⑷二维平面流动： 第10页，共32页，编辑于2022年，星期四 2.理想流体的运动方程3.4.1---欧拉运动微分方程 理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。 1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速与其所受到外力间的关系式即是运动方程。 第11页，共32页，编辑于2022年，星期四 推导过程： ⑴取微小六面控制体 牛顿第二定律or动量定理： ⑵推导依据： 即作用力之合力=动量随时间的变化速率 第12页，共32页，编辑于2022年，星期四 ⑶分析受力： 质量力： 单位质量力： X方向上所受质量力为： 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为： X方向上质点所受表面力合力： 第13页，共32页，编辑于2022年，星期四 流体质点加速度 的计算方法： 流速的全导数应是： 当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区域而表现出的速度变化率。 第14页，共32页，编辑于2022年，星期四 流体质点加速度 在三个坐标轴上的分量表示成： 第15页，共32页，编辑于2022年，星期四 ⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程： 单位体积流体的运动微分方程： 单位质量流体的运动微分方程： 第16页，共32页，编辑于2022年，星期四 同理可得y,z方向上的： 第17页，共32页，编辑于2022年，星期四 向量形式： 式中： ——理想流体欧拉运动微分方程 适用条件：理想流体，不可压缩流体和可压缩流体 第18页，共32页，编辑于2022年，星期四 （5）连续性微分方程和运动方程在求解速度场中的应用 这里以不可压缩粘性流体稳定等温流动为例： 连续性方程： 运动方程： 第19页，共32页，编辑于2022年，星期四 1. 含有四个未知量 完整的方程组。 2. 描述了各种量间的依赖关系。 3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始条件）→特解。 即描述流体流动的 完整方程组+单值性条件→描