高等数学第3版(张卓奎)第二章习题选解-北京邮电大学出版社.doc

高等数学第3版(张卓奎)第二章习题选解-北京邮电大学出版社 PAGE PAGE 19 高等数学第3版第二章习题选解 习　　题　2－1 3．设，根据导数的定义求． 解： 4．用导数的定义证明． 解： ． 5．已知存在，求下列极限 （1）　；　　　　（2）　；　　 （3）　． 解：（1）　． （2）　；　　 （3）　 ． 6．求下列函数的导数 （1）　；　　　　　　（2）　；　　　　（3）　；　 （4）　；　　　　　（5）　；　　　　（6）　． 解：；；； ；； ． 7．讨论下列函数在处的连续性和可导性． （1）　；　　　　　（2）　　．　　 解：（1）因为 ，所以在处连续；又因为 所以在处不可导． （2）因为， 所以在处连续；又因为 所以在处可导，且。 8．设，试用导数的定义讨论在处的可导性． 解：因为，即在处的可导且．又， ，由于 ，所以在处不可导． 9．如果为偶函数，且存在，用导数定义证明． 证：因为为偶函数，故，又存在，于是令，有 ， 所以，，即 10．求曲线上点处的切线方程和法线方程． 解：，故曲线上点处的切线方程为 ，即， 法线方程为，即． 11．设某产品生产个单位时的总收入为，求生产100个产品时的总收入、平均收入及当生产第100个产品时，总收入的变化率． 解：生产100个产品时的总收入为 平均收入为 生产第100个产品时，总收入的变化率为． 12．证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积都等于． 证明：由，得 设为曲线上任意一点，则过点的切线方程为 又因为，令，得 为切线在轴的截距； 令，得为切线在轴的截距 。所以切线与两坐标轴构成的三角形面积为 习　　题　2－2 1．求下列函数的导数 （1）　；　　　　　　　　（2）　； （3）　；　　　　　　　（4）　；　　　 （5）　；　　　　　　　　　　　（6）　； （7）　；　　　　　　 （8）　；　 （9）　；　　　　　　　　（10）　；　　　 （11）　；　　　　　　（12）　； （13）　；　　　　　　 （14）　；　 （15）　；　　　　　　 　　（16）　；　　　 （17）　；　　　　　（18）　； （19）　；　　　　　 　（20）　； （21） ； （22） ． 解：； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ， ； ； ； 2．设，求和. 解：，， 3．求曲线在横坐标处的法线方程． 解： ， 当时，， 所以所求法线方程为： 即 4．求曲线上的一点，使该点处的切线与轴平行． 解：，令 即 解之得。把 代入 得，所以所求曲线上的点为。 5．求曲线的平行于直线的法线方程． 解：因为 且直线的斜率为1， 所以 即 解之得 ，把 代入得。故所求的法线方程为， 6．以初速度竖直上抛的物体，其上升高度与时间的关系是，求： （1）该物体的速度； （2）该物体达到最高点的时刻． 解：，物体达到最高点时，即． 习　　题　2－3 1．求下列函数的导数 （1）　；　　　　　　　 （2）　；　 （3）　；　　　　　　　　　　（4）　；　　　 （5）　；　　　　　　　 （6）　； （7）　；　　　　　 （8）　　； （9）　；　　　　　　　 （10）　；　　　 （11）　；　　　　　 　 （12）　； （13）　；　　　 （14）　；　 （15）　；　　　　　　　　 （16）　；　　　 （17）　；　　　　　 　 （18）　； （19）　；　　　　 　 （20）　； （21）　；　　　　　 　 （22）　； （23）　；　　　 （24）　　． 解： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ， ； ； 2．设可导，求下列函数的导数 （1）　； 解：； 　 （2）　　； 解：； （3）　； 解： ； 　 （4）　； 解：； （5）　． 解 ． 3．求曲线过点的切线方程和法线方程． 解：，，故曲线过点的切线方程为 或；法线方程或． 4．设质点作直线运动，其运动规律为（为常数），求时质点的运动速度． 解：，将代入，得 习　　题　2－4 1．求下列函数的二阶导数． （1）　；　　　　　　 解：，； （2）　；　 解：，； （3）　；　 　　　　　 　 解：，； （4）