参数方程（讲）第56讲 参数方程（讲） — 高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）(原卷版+解析版).docx

第56讲 参数方程 【课标解读】 1.了解参数方程，了解参数的意义.　 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程. 【备考策略】 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个必考点。预测2022年将会考查参数方程与普通方程的互化及直线与椭圆参数方程的应用。 【核心知识】 1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝f?t?，,y＝g?t?，))并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝f?t?，,y＝g?t?.)) 【特别提醒】参数方程与普通方程互化的注意点 (1)在参数方程与普通方程的互化中，一定要注意变量的范围以及转化的等价性． (2)普通方程化为参数方程，参数方程的形式不唯一，即如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同． (3)直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离． 3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程 轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)，点斜式)) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcos α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数) 圆 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝a＋rcos θ，,y＝b＋rsin θ))(θ为参数) 椭圆 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(ab0) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝acos φ，,y＝bsin φ))(φ为参数) 【高频考点】 高频考点一　参数方程与普通方程的互化 例1．（2021·江苏高考真题）以抛物线的焦点为圆心，且与直线(为参数）相切的圆的标准方程是____________. 【方法技巧】将参数方程化为普通方程消参的方法 (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数． (2)利用三角恒等式消去参数． (3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数． 【变式探究】已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t为参数)，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝4cos θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)． (1)求直线l和圆C的普通方程； (2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 高频考点二　参数方程的应用 例2.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝m－\f(\r(2),2)t，,y＝3＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ. (1)求直线l的倾斜角及曲线C的直角坐标方程； (2)设P(m,3)且直线l和曲线C的交点为A，B，若|PA|·|PB|＝1，求实数m的值． 【方法技巧】 (1)解决直线与圆、圆锥曲线的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆、圆锥曲线的位置关系来解决问题． (2)对于形如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)的参数方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题． (3)直线参数方程的应用：直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离问题．它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判断是否是标准形式再考虑参数的几何意义． (4)圆、圆锥曲线的参数方程突出了其工具性作用，应用时，把圆、圆锥曲线上的点的坐标设为参数方程的形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．　　 【变式探究】在直角坐标系xO