参数方程-高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练(原卷版+解析版).docx

2021年高考数学（理）选考与统计部分突破性讲练 07 参数方程 一、考点传真： 1.了解参数方程，了解参数的意义； 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 二、知识点梳理： 1.曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f(t)，,y＝g(t)，))并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝f(t)，,y＝g(t)))就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcos α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数) 圆 x2＋y2＝r2 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcos θ，,y＝rsin θ))(θ为参数) 椭圆 eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acos φ，,y＝bsin φ))(φ为参数) 【注意点】　直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离． 三、例题： 例1.（2020年全国1卷理数，22）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1)当时，是什么曲线？ (2)当时，求与的公共点的直角坐标. (1)曲线是圆心为坐标原点，半径为1的圆；(2). 例2.（2020年全国2卷理数，22）已知曲线的参数方程分别为 （为参数），（t为参数）. （1）将的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程. （1）；；（2）. 例3.（2020年全国3卷理数，22）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数且），C与坐标轴交于A，B两点. （1）求； （2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程. 例4.（2019全国卷II）[选修4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，O为极点，点在曲线上，直线l过点且与垂直，垂足为P. （1）当时，求及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程. 例5.（2019全国卷III）[选修4-4：坐标系与参数方程] 如图，在极坐标系Ox中，，，，，弧，，所在圆的圆心分别是，，，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧. （1）分别写出，，的极坐标方程； （2）曲线由，，构成，若点在M上，且，求P的极坐标. 例6．(2018全国卷Ⅲ)[选修4—4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系中，的参数方程为，（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点． (1)求的取值范围； (2)求中点的轨迹的参数方程． 例7．（2017新课标Ⅱ）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为． (1)为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程； (2)设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值． 例8.（2017新课标Ⅲ）在直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)，直线的参数方程为（为参数）．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线． (1)写出的普通方程； (2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设： ，为与的交点，求的极径． 四、巩固练习： 1．已知曲线C的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝cos α，,y＝m＋sin α))(α为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(\r(5),5)t，,y＝4＋\f(2\r(5),5)t))(t为参数)． (1)求曲线C与直线l的普通方程； (2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝eq \f(4\r(5),5)，求实数m的值． 2．曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c