初三数学知识点整理.docx

初三第一册 相似三角形 1、相似形 形状相同的两个图形叫做相似形。 相似的图形，他们的大小不一定相同。大小相同的两个相似形是全等形。 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形对应角相等，对应边的长度成比例。 图形的大小或放缩，称为图形的放缩运动。通过放缩运动，两个相似的图形可以互相重合（即称为全等形）。 注意：在解决相似形的问题中，要注意点与点、边与边、角与角之间的“对应” 关系。 2、比例线段 两条线段长度的比叫做两条线段的比。 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 比例线段的性质： a c b d a b c d 基本性质：如果 b ? d ，那么ad ? bc （或 a ? , ? , ? ）。 c c d a b a 合比性质：如果 ? c ，那么 a ? b ? c ? d 。 b d b d a c a ? c a c 等比性质：如果 b ? d ? k ，那么 b ? d ? b ? d ? k 。 黄金分割 如果点 P 把线段 AB 分割成 AP 和 PB（APPB）,其中，AP 是 AB 和 PB 的比例中项， 那么这种分割为黄金分割，点 P 称为 AB 的黄金分割点，AP 与 AB 的比值 5 ?1 称 2 为黄金分割数，它的近似值为 0.618。 注意：求两条线段的比，与长度单位的选择无关，但单位必须统一；两线段的比是一个没有单位的正数。 四线段成比例具有顺序性。 3、三角形一边的平行线 定理 1 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 推论 1 平行于三角形的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。 定理 2 如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 推论 2 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例。 两条直线被被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等。 注意：在使用三角形一边平行线的性质定理时，关键是看清平行线，找准对应线段，构成比例。 4、相似三角形的判定 相似三角形：如果两个三角形的三个角对应相等，三条边对应成比例。对应边的比叫做相似比。当相似比等于 1 时，这两个相似三角形是全等三角形。 相似三角形的预备定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。 相似三角形的判定定理 1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。 相似三角形判定定理 2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似。 相似三角形判定定理 3 如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似。 直角三角形相似的判定定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。 两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例。 5、相似三角形的性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比。 相似三角形周长的比等于相似比。 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 6、实数与向量相乘 实数与向量相乘的运算 a 。若k ? 0且a ? 0 ，那么ka 的长度ka ? k a 。 ka 的方向：当k ? 0 时， ka 与a 同方向； 当k ? 0 时， ka 与a 反方向； 若k ? 0或a ? 0 ，那么ka ? 0 。 实数与向量相乘的运算律设 m,n 为实数，则 m(na) ? (mn)a ； (m ? n)a ? ma ? na ； m(a ? b) ? ma ? mb 。 向量加法、减法、实数与向量相乘等运算，与多项式的运算类似，但向量运算的结果仍是向量，是一个有长度和方向的量。 平行向量定理 a 。如果向量b 与非零向量a 平行（包括b, a 在同一直线上），那么存在唯一确定的实数 k，使得b ? a 。 注意：给出图形计算向量的和与差主要依据向量求和的平行四边形法则；给出 向量和或差的式子，进行化简或运算，方法类似“合并同类项”的法则。 7、平面向量的分解 向量的加法、减法、实数与向量相乘，以及他们的混合运算，叫做向量的线性运算。如果 a, b 是两个不平行的向量， x,y 是实数，那么向量 xa ? yb 叫做向量a, b 的线性