广东中考数学总复习专题突破专题十二圆的综合题.docx

专题十二 圆的综合题 考情分析 6 年 5 考，2013～2017 年均在第 24 题出现，且分值均为 9 分．重点考查切线的判定和性质，涉及圆周角定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、弧长的计算等．预计在 2018 年仍是重点考查内容． 例 如图 1，以 BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边 CF 于点 A，BM 平分∠ABC 交 AC 于点 M，AD⊥BC 于点 D，AD 交 BM 于点N，ME⊥BC 于点 E，AB2＝AF·AC. 图 1 (1)求证：△ABM≌△EBM； (2)求证：FB 是⊙O 的切线； (3)若 cos 12.求四边形 AMEN 的面积S. ∠ABD＝5，AD＝ 方法总结 切线的判定主要有两条途径：1.圆心到直线的距离等于半径；2.证明直线经过圆的半径的外端，并且垂直于这条半径．注意：1 若圆心与切点无连线，需先作辅助线； 2.解题过程中一般会涉及到全等三角形、相似三角形的判定与性质，常利用圆周角定理和切线的性质得到角的大小或角之间的等量关系，利用两弧相等得到线段或角度相等． 训练 1.如图 2，AB 为⊙O 的直径，直线 CD 切⊙O 于点M，BE⊥CD 于点 E. 图 2 (1)求证：∠BME＝∠MAB； (2)求证：△BME∽△BAM； (3) 18 3 若 BE＝ 5 ，sin∠BAM＝5，求线段 AM 的长． 如图 3，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，D 是⊙O 上的一点，且 AD∥CO. 图 3 求证：△ADB∽△OBC； 若∠OCB＝30°，AB＝2，求劣弧 AD 的长； 连接 CD，试证明 CD 是⊙O 的切线． 如图 4，已知等边三角形 ABC，M 是边 BC 延长线上一点，连接 AM 交△ABC 的外接圆于点 D，延长 BD 至N，使得 BN＝AM，连接 CN，MN，解答下列问题： 图 4 (1)猜想△CMN 的形状，并证明你的结论； (2)请你证明 CN 是⊙O 的切线； (3)若等边三角形 ABC 的边长是 2，求 AD·AM 的值． 如图 5，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，且对角线AC 为直径，AD＝BC，过点D 作 DG⊥AC，垂足为 E，DG 分别与 AB 及 CB 延长线交于点 F，M. 图 5 求证：四边形 ABCD 是矩形； 若点 G 为 MF 的中点，求证：BG 是⊙O 的切线； 若 AD＝4，CM＝9，求四边形 ABCD 的面积． 已知，⊙O 经过矩形 ABCD 的四个顶点，过点 B 作 BK⊥AC，垂足为 K，过点 D 作 DH∥KB，DH 分别与 AC，AB，⊙O 及 CB 的延长线相交于点 E，F，G，H. (1)如图 6，求证：AE＝CK； 如图 7，连接 AH，GB，若 F 是 EG 的中点，求证：四边形 BKEG 为矩形； 在(2)的条件下，求出tan∠HAC 的值． 图 6 图 7 如图 8，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D， 点 E 是 AB 边上一点(点 E 不与点 A，B 重合)，DE 的延长线交⊙O 于点 G，DF⊥DG，且交 BC 于点 F. 图 8 求证：AE＝BF； 连接 GB，EF，求证：GB∥EF； (3)若 AE＝1，EB＝2，求 DG 的长． 参考答案 例 (1)证明：∵AB 是直径， ∴∠BAC＝90°.∴MA⊥AB. ∵ME⊥BE，BM 平分∠ABC， ∴AM＝ME. ??BM＝BM， ∵在Rt△BMA 和 Rt△BME 中，? ??MA＝ME， ∴△ABM≌△EBM.  AB AC 证明：∵AB2＝AF·AC，∴AF＝AB. 又∠BAF＝∠BAC＝90°， ∴△BAF∽△CAB.∴∠C＝∠FBA. ∴∠ABC＋∠FBA＝∠ABC＋∠C＝90°，即 BC⊥BF. 又 BC 为⊙O 的直径，∴FB 为⊙O 的切线． 解：在 Rt△ABD 中，∵cos 3 12， ∴sin  tan ∠ABD＝5，AD＝ 4 ∠ABD＝5， ∠ABD＝3. AD ∴BD＝ ＝9，AB＝ AD2＋BD2＝15， tan∠ABD AC＝AB·tan∠ABD＝20，BE＝AB＝15，DE＝BE－BD＝6. ME MC 由(1)知△MEC∽△ADC，设 ME＝x，则AD＝ AC ， x 20－x 15 15 即12＝ 20 ，解得 x＝ 2 ，即 ME＝ 2 . ∵∠AMN＋∠ABM＝90°，∠BND＋∠DBN＝90°， 又∠ABM＝∠DBN，∠ANM＝∠BND， ∴∠ANM＝∠AMN.∴AN＝AM＝ME. ∵AN∥EM，∴四边形 AMEN 是平行四边形． ∴S＝ME· 15 DE＝ 2 × 6＝45. 训练 1.(1)证明：如图 1