幂级数及泰勒展开习题解答.docx

幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间 1. ?? n?1 xn 2n(2n ?1) aan a a n?1 n n?? ? R ? 1 ? lim ? 1 2n(2 2n(2n ?1) 2(n ?1)(2n ?1) 当 x ? 1 时，因 1 ? 1 ? 1 ， 所以?? 1  收敛， 2n(2n ?1) 2n(n ? n ?1) n2  n?1 2n(2n ?1) 当 x ? ?1 时， ?? n?1 (?1)n 2n(2n ?1)  绝对收敛， ? 收敛区间为[?1,1]。 2. ?? n?1 (?1)n xn?1 2 2n?1 n aan a a n?1 n 2n?1 n 2n n ?1 解： lim ? lim ? n?? n???2 ? R ? 2 当 x ? 2 时， ?? nn?1 n (?1)n 为收敛的交错级数， 2n?1 n当 x ? 2n?1 n ?? (?1)n (?2)n?1 ? ??? 1 n发散， n n?1 n?1 ? 收敛区间为(?2,2] 。 3. ?? n?1  ?(?1)n ? ? 2n  ? xn ? 3n xn ? ? 解： lim n?? ? lim ? 3 aan? a a n?1 n (?1)n?1 ? 3 2n?1 n?1 (?1)n ? 3 n 2n ? R ? 1 ， 当 x ? ? 1 时，通项不趋于零，? 收敛区间为? ? 1 , 1 ? 。 ? ? ?3 3 ? 3 3 ? (? n1)4. ?? (2 x ? (? n1) 2n ?1 n?1 解： lim n?? ? lim ? 1 an?1 a n?1 a 2n ?1 2n ?1 n ? R ? 1 故当 2x ? 3 ? 1，即1 ? x ? 2 时级数绝对收敛。 当 x ? 1 时， ?? (?1)n (?1)n ??? 1 , ? 1 ? 1 ? 发散， n?1 2n ?1  n?1 2n ?1 ? 2n -1 2n ? ??当 x ? 2 时， ?? (?1)n ? ? 2n ?1  为收敛的交错级数， n?1 ? 收敛区间为(1,2] 。 5. ?? ln(n ?1)(x ?1)n n ?1 n?1 解： lim n?? ? lim ? 1 an?1 a n?1 a ln(n ? 2)(n ?1) (n ? 2)ln( n ?1) n ? R ? 1 故当 x ?1 ? 1，即0 ? x ? 2 时级数绝对收敛。当 x ? 0 时，因为 lim ln(n ?1) ?  lim ln x ? 1 lim x ? 0 ， n?? n ?1 x??? x x??? 1 ?ln x ? f (x) x ? f ?(x) ? 1? ln x x2 ? 0(x ? e) ? n ? 3 ln(n ? 2) 时， ? n ? 2 ln(n ?1) n ?1 所以 ?? n?1 (?1)n ln(n ?1) ?收敛， ? n 1 当 x ? 2 时，因为当n ? 2 时ln(n ?1) ? 1 ? 1 所以?? ln(n ?1) 发散， ? 收敛区间为[0,2) 。 n ?1 n ?1 2n  n?1 n ?1 6. ?? n?1 (?1)n n4n  (x ?1)2  n?1 uun?1n(x ?1)2n?1 n4 u u n?1 n (x ?1)2n?1 n4n (x ?1)2n?1(n ?1)4n?1 1 4 n?? n?? 14故当 x ?12 ? 1 ? x ?1 ? 2 ，即?1 ? x ? 3 时级数绝对收敛。 1 4 ?? (?1)n 1 ?? (?1)n?1 当 x ? ?1 时， n4n (?1?1)2n?1 ? 为收敛的交错级数， 2 n n?1 n?1 当 x ? 3 时， ?? (?1)n 1 ?? (?1)n  为收敛的交错级数， (3 ? 2n (3 ? 2n?11) ? n4n 2 n n?1 ? 收敛区间为[?1,3]。 二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数 1. ?? n?1 (?1)n?1 x2n?1 2n ?1 uun?1nx2n?1(2n ? u u n?1 n x2n?1(2n ?1) x2n?1(2n ?1) n?? n?? 故当 x 2 ? 1 ? x ? 1 时级数绝对收敛，当| x |? 1时，级数发散。 当 x ? ?1 时， ?? n?1 (?1)n?1 2n ?1 (?1)2n?1 ? ?? n?1 (?1)n 2n ?1 为收敛的交错级数， 当 x ? 1 时， ??