平面向量奔驰定理.docx

已知 O 是?ABC 内的一点， ?BOC, ?AOC, ?AOB 的面积分别为 S ， S ， S ，求证： A B C S ? OA ? S ? OB ? S ? OC ? 0 A B C OA 如图 2 延长OA 与 BC 边相交于点 D 则 O SBD S S S S ? S S B C DC ? ?ABD ? S ?BOD ? ?ABD ?BOD ? C S SS S S ?ACD ?COD ACD ?COD B 图 1 OD ? DC BC OB ? BD OC BC OA O ? SB OB ? SC OC B D C S ? S S ? S B C B C OD ? S BOD ? SCOD ? SBOD S S COD ? A OA S 图 2  BOA S COA S BOA S COA S ? S B C A? OD ? ? S OA A S ? S B C A?? S A OA ? SB OB ? SC OC S ? S B C S ? S B C S ? S B C ?S ? OA ? S ? OB ? S ? OC ? 0 A B C 推论O 是?ABC 内的一点，且 x ? OA ? y ? OB ? z ? OC ? 0 ，则 ?S : S : S x : y : z ? ?BOC ?COA ?AOB 有此定理可得三角形四心向量式 O 是?ABC 的重心 ? S ?BOC S : ?COA S : ?AOB ? 1:1:1 ? OA ? OB ? OC ? 0 O 是?ABC 的内心 ? S ?BOC S : ?COA S : ?AOB ? a : b : c ? a ? OA ? b ? OB ? c ? OC ? 0 O 是?ABC 的外心 ?? S : S : S sin 2 A : sin 2B : sin 2C ? ?BOC ?COA ?AOB ? sin 2 A ? OA ?sin 2B ? OB ?sin 2C ? OC ? 0 O 是?ABC 的垂心 ?? S : S : S tan A : tan B : tan C ? ?BOC ?COA ?AOB ? tan A ? OA ? tan B ? OB ? tan C ? OC ? 0 OC O A D B CD 证明：如图O 为三角形的垂心， tan A ? , tan B ? CD ? tan A: tan B ? DB : AD S ?BOC  S : ?COA  ? DB : AD AD DB ?S ?BOC : S ?COA ? tan A : tan B 同理得 S  ?COA S : ?AOB ? tan B : tan C ， S  ?BOC S : ?AOB ? tan A : tan C ?S ?BOC : S ?COA : S ?AOB ? tan A : tan B : tan C 奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一 三角形“四心”的相关向量问题 一．知识梳理： 四心的概念介绍： 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1； 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直； 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等； 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。与“重心”有关的向量问题 已知G 是△ABC 所在平面上的一点，若GA ? GB ? GC ? 0 ，则G 是△ABC 的( )． A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 如图⑴. GBBM G B B M A C A A O 图⑴ 图⑵ 已知 O 是平面上一定点， A，B，C 是平面上不共线的三个点， 动点 P 满足OP ? OA ? ? ( AB ? AC ) ， ? ? (0，? ?) ，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ). A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心 3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点 P 满足【解析】由题意 AP ? ? ( AB ? AC) ，当? ? (0，? ?) 时，由于? ( AB ? AC) 表示 BC 边上的中线所在直线的向量，所以动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心，如图⑵. 3 .O 是△ABC 所在平面内一点，动点 P 满足 解：作出如图的图形 AD⊥BC，由于sinB=sinC=AD，（λ∈（0，+∞）），则动点 P 的轨迹一定通过△ABC 解：作出如图的图形 AD⊥BC，由于 sinB= sinC=AD， ∴=由加法法则知，P 在三角形的中线上故动点 P 的轨迹一定通过△ABC ∴ = 与“垂心”有关的向量问题 P 是△ABC 所在平面上一