极化恒等式在向量问题中的应用专题.docx

精选 精选 极化恒等式在向量问题中的应用专题 阅读以下材料： 引例：平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型。你能用向量方法证明：平行四边形的对角线的平方和 AC 2? A AC 2  ? a ? b 2 ? ? ? a ? 2a ? b ? b （1） 2 2 DB 2? DB2 DB 2 a ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b （2） （1）（2）两式相加得： AC 2 ? DB 2 ? 2? a 2 ? b 2 ? ? 2? AB 2 ? AD 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 结论：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍. ＝ ?思考 1：如果?将上面?（1?）（2）? ＝ ? a ? b 1 ? a ? b 2 4 ? a ? b 2 ?? ————极化恒等式 ?对于上述恒等式，用向量运算显然容易证明。那么基于上面的引例，你觉得极化恒等式的几何意义是什么？ ? 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与 1 “差对角线”平方差的 . 4 1 ? ? 即： a ? b ? 4 AC 2 DB 2 （平行四边形模式） 思考：在图 1 的三角形 ABD 中（M 为 BD 的中点），此恒等式如何表示呢？ 1 因为 AC ? 2 AM ，所以a ? b ? AM 2 ? 4 DB 2 （三角形模式） 例 1.(2012 年浙江文 15) 在 ?ABC 中， M 是 BC 的中点， AM ? 3, BC ? 10 ， 则 A uuur uuur AB ? AC ????. 解：因为 M 是 BC 的中点，由极化恒等式得： B M C 1 1 AB ? AC ? AM 2 ? BC 2 =9- ?100 = -16 等于两条邻边平方和的两倍.证明：不妨设 等于两条邻边平方和的两倍. 证明：不妨设AB ? a, AD ? b, M 则AC ? a ? b，DB ? a ? b， ? ? 2 2 图 1 【小结】在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线， 再写出极化恒等式。 目标检测 (2012北京文13改编)已知正方形ABCD的边长为1， 点E是AB边上的动点，则DE ? DA的值为 . 例2（. 自编）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点， 解：取 AB 则PA ? PB的取值范围是 . 的中点 D，连结 CD,因为三角形 ABC 为 正三角形，所以O 为三角形 ABC 的重心，O 在 CD 上， 且OC ? 2OD ? 2 ，所以CD ? 3， AB ? 2 3 （也可用正弦定理求 AB） 又由极化恒等式得： 1 PA ? PB ? PD 2 ? 4 AB 2 ? PD 2 ? 3 因为 P 在圆O 上，所以当 P 在点 C 处时，| PD | 当 P 在 CO 的延长线与圆O 的交点处时，| PD | ? 3 max ? 1 所以 PA? PB ?[?2,6] min 【小结】涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围、最值即可。 目标检测 (2010福建文11)若点O和点F分别为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的中心和左焦点，点P 4 3 为椭圆上的任意一点，则OP ? FP的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 1 例 3.（2013 浙江理 7）在?ABC 中, P 0 是边 AB 上一定点，满足 P B ? 0 AB ，且对于边 AB 4 uuur uuur uuur uuur 上任一点 P ，恒有 PB ? PC ? P B ? PC  。则( ) 00 0 0 A. ?ABC ? 90o AB ? AC B. C. D. ?BAC ? 90o AC ? BC 目标检测 (2008浙江理9)已知a, b是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a ? c) ? (b ? c) ? 0,则c的最大值是( ) C. 2 C. 2 A.1 B.2 D. 2 课后检测 3在?ABC 中， ?BAC ? 60o 若 AB ? 2 ， BC ? 3  ， D 在线段 AC 上运动， DB ? DA 的 最小值为 ? ?已知 AB 是圆O 的直径, AB 长为 2, C 是圆O 上异于 A, B 的一点, P 是圆O ? ? uur uuur uuur 任意一点,则 PA ? PB ? PC 的最小值为（ ） ? 1 ? 1 ? 1 ?1 4 3 2 在?ABC 中， AB ? 3 ， AC ? 4 ， ?BAC ? 60o ，若 P 是?ABC 所在平面内一点，且 uuur uuu