曲线积分分析和总结.docx

第十章 曲线积分与曲面积分 （第一部分）曲线积分 Ⅰ、对弧长的曲线积分（第一型曲线积分） 一、对弧长的曲线积分的概念 定义 ? f ( x, y)ds ? lim ?n ??0 f (? , ? i i )?s . i L i ?1 ? f ( x, y, z)ds ? lim ?n ??0 f (? , ? , ? i i i )?s i ? i ?1 物理意义 M ? ? ?( x, y)ds 表示线密度为?( x, y) 的弧段 L ? AB 的质量. L 二、对弧长的曲线积分的性质 1．线性性质： ? [?f ( x, y) ? ?g( x, y)]ds ? ?? f ( x, y)ds ? ?? g( x, y)ds . L L L 可加性：若 L ? L 1 L ，则? f ( x, y)ds ? 2 ? f ( x, y)ds ? ? f ( x, y)ds . LL L L 1 2 L 的弧长： s ? ? ds . L单调性：设在 L 上， f ( x, y) ? g( x, y) . 则? f ( x, y)ds ? ? g( x, y)ds . L L L L L ? f ( x, y)ds ? ? f ( x, y)ds AB BA 三、对弧长的曲线积分的计算方法 方法：化为定积分计算（注：下限上限） （1）若 L : x ? ?(t ), y ? ? (t ) (? ? t ? ? ) ；则 ? f ( x, y)ds ? ? L ? f [?(t ), ? (t )] ?? ?? 2 (t ) ?? ? 2 (t ) dt . （2）若 L : y ? ?( x) ( x ? x ? X )；则 0 ? f ( x, y)ds ? ? X f [ x, ?( x)] dx . 1 ?? 1 ?? ?2 ( x) （3）若 L : r ? r(? ) (?1 ? ? ? ?2 )；则 ? f ( x, y)ds ? ? L ?2 f (r cos?, rsin?) r r 2 (? ) ? r ?2 (? ) 1 dr . （4）若? : x ? ?(t ), y ? ?(t ), z ? ?(t ) (? ? t ? ?) ；则 ?? 2 (t ) ? ?? 2 (t ) ? ?? 2 (t )? f ( x ?? 2 (t ) ? ?? 2 (t ) ? ?? 2 (t ) ? dt . ? 注 被积函数可用积分曲线方程化简！ 四、对弧长的曲线积分典型例题 例 1． 计算 I ? ? xds ，其中 L 为双曲线 xy ? 1 从点( 1 , 2)  至点(1, 1) 的弧段． L 2 分析 由于本题积分曲线 L 的方程可化为 y ?  1 1 或 x ? 的形式，但考虑到化为以 x y x 为积分变量的定积分计算比较困难，故本题积分曲线 L 应采用 x ? 1 的形式。 y 解 由于 L : x ? 1 ， 1 ? y ? 2 ；所以 1 ? y 1 ? y 4 2 1 2 1 2 ? 1 ? I ? ? xds ? ? L 1 y 1 ? 1 ? y 4 y 2 1 ? x?dy ? ? 1 2 dy ? ? ? y 3 2 1 217? 2 17 1 ? y 4 d ? ? ? y 2 ? ? ? 1 ? ? ? 2 1 2 y 3 dy? ? ? ? ? 2 2 y dy y 21 ? y y 2 1 ? y 4 ? ? 1 ? 2 8 1 ?? ? 1 ? y 42171 ? ( y 2 )2? ? ? 1 ? 2 1 d ( 1 ? y 4 2 17 1 ? ( y 2 )2 2 8 2 1 ? ? 1 ln 4 ? . 217171 ? 2 2 17 17 1 ? 2 注 由于被积函数 f ( x, y) 定义在曲线 L 上，故x, y 满足曲线 L 的方程。因此，计 算第一型曲线积分时应首先需要利用曲线方程化简被积函数，这是计算曲线积分的一个 重要知识点. x 2 2y例 2． 设 L 为椭圆 ? ? 1 ，其周长记为a ，求? (2 xy ? 3 x 2 ? 4 y 2 ) ds x 2 2y 4 3 L 分析 由于积分曲线 L : ? 1 可恒等变形为 L : 3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 ，而被积函 x 2 x 2 2y 数2 xy ? 3 x 2 ? 4 y 2 中又含有3 x 2 ? 4 y 2 ，故可将3 x 2 ? 4 y 2 ? 12 代入，从而简化被积函数， 然后再计算；对于积分? 2 xyds ，由于 L 关于 y 轴（ x 轴）对称，函