考研数学冲刺试卷(数学二参考答案).docx

2020 考研数学冲刺模拟试卷参考答案 （数 学二） 一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分．下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． ．．． 1.解答：由题设 lim ex ? ?ax2 ? bx ?1? ? 0, x2 x?0 ?1 ? b? x ? ax2 lim ex ? x ?1 ? x ? ax2 ? bx ? lim ex ? x ?1 ? lim ? 0, x2 x2 x?0 x2 x?0 x?0 1 ? lim ?1 ? b? x ? ax2 ? 0 ，故 lim ?1 ? b? x ? ax2 ? ? 1 ，所以 b ? 1,a ? 1 ,选 A. 2x?0x2x?0x222 ? 1 ? ? 2.解答： lim f ?x? ? lim ?x ?1?arctan ? ? ? 2 ? ? ? , ? ? 2 x?1? x?1? ? ? ? x2 ?1 ? ? 1 ? ? ? ? lim f ?x? ? lim ?x ?1?arctan ? ? ? 2 ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ?? ? x?1 x?1 ? 2 ? ? x2 ?1 ? ? 1 ? 故 lim f ?x?不存在，因而 f ?x?在点 x ?1 处不连续. 因为 arctan ? ? 为有界变量， ? x?1 2 ? x ?1 ? lim ?x ?1? ? 0, 故 f ?x?在点 x ? ?1 处连续, 选 C. x??1 3.解答：由 fx? ? 3x2 ?8x ? 2 y ? 0, f y? ? 2x ? 2 y ? 0 得其解为 ?0, 0? 和 ?2, 2?. 又因 A ? f ? xx ?2,2? ? ?6x ? 8 ? ?2,2? ? 4, B ? f ? xy ?2,2? ? 2,C ? f ? yy ?2,2? ? ?2, 在点 ?2, 2?处， B2 ? AC ? 0 ，故点 ?2, 2?不是极限点. 而因： A ? f ? xx ?0,0? ? ?8, B ? f ? xy ?0,0? ? 2,C ? f ? yy ?0,0? ? ?2, B2 ? AC ? 0, A ? 0 ，所以点 ?0, 0? 是极大值点,选 A. 4.解答：将积分化成直角坐标系下的积分，得到: ? ?02? d? ?0R ?e?r cos? ? e??r sin? ?rdr ? ???e?x ? e?? y ?d? D 因为 D 关于 x 和 y 轮换对称，所以 ??e?? y d? ???e??xd? ，又因为 D 关于 y 轴对称， ??? D D e?x ? e??x 为 x 的奇函数，所以 I ? e?x ? e?? y d? ? 0, 选 C. D 5.解答： I ? 3 1 dx ? 2 3 1 1 3 ? 2 dx 2 ? 2 arctan x ?, 收敛 1 1 ?0 ?0 1 ? x 03 ?1 ? x ? x 2 I2 ? ?? ex?3 dx ? e?2 ?? 1 dex?1 ? e?2 arctan ex?1 ?? ? ? e?2 , 收敛，故选 D. ?1 ?1 1 ? e2?x e2?x?1? ?1 ?1? 1 4 6.解答：由题干可知，特征方程为 r 2 ? 4 ? 0, 则 r ? ?2i ，选 D. 1,2 7.解答：因为?1 ,?2 是对应齐次线性方程组 Ax ? 0 的基础解系，所以?1 ,?1 ??2 也是该方程的基础解系，且 ?1 ? ?2 是 Ax ? b 的解，选 B. 2 8.解答：由于 n ? r ? 3 ，则 r ? r ?A? ? 2, 即 r ??1,?2 ,?3 ,?4 ,?5 ? ? 2 ，又由于?1 ,?2 ,?3 是 方 程 AX ? 0 的 基 础 解 系 ， 则 满 足 ??1 ??2 ? 0, ?2 ? 3?3 ??4 ? 0, ?1 ? 5?3 ??4 ??5 ? 0 ，由此可知，极大线性无关组为?1 ,?4 ,选 B. 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分．请将答案写在答题纸指定位 ．．． 置上． 9.解答： y? ? e f ?x? ? 1 f ??ln x ? ? f ??x ? f ?ln x ? ? ? ? . ? x ? 1 1 ? 2 x2 10.解答： 原式=?0 x ln ?1 ? x ?dx ? ??x ?1?ln ?x ?1 ?? 2 2 ? 11.解答：设 y ? ux ，则 dy ? u ? x du ，代入原式得到: dx dx du u ? x du ? u ? 1 u3 ，即 x ? ? 1 2du dx d