极限计算方法总结.docx

精选 精选 极 线的运算法则 班级: 组名： 组员: 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高 等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极 限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如： lim b ? 0 (a,b为常数且a ? 0) ； lim(3x ?1) ? 5 ； n?? an x?2 ?0 ， 当| q |? 1时 lim qn n?? ? ? ；等等 ?不存在，当| q |? 1时 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 极限运算法则 定理 1 已知 lim f ( x) ，lim g ( x) 都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在， 且有 （1） lim[ f ( x) ? g ( x)] ? A ? B lim f ( x) ? g ( x) ? A ? B lim f ( x) ? A , (此时需B ? 0成立) g ( x) B 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 两个重要极限 （1） lim sin x ? 1 1x?0 x 1 （2）  1 lim(1 ? x) x x?0 ? e ； lim(1 ? x?? x ) x ? e 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 sin 3x  1 ?? lim(1 ? 3 ) x ? e 例如： lim x?0 3x 等价无穷小 ? 1 ， lim(1 x?0 2 x) ?2 x e ， 3 x?? ；等等。 x定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 x 定理 3 当 x ? 0 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～ sin x ～ tan x ～ arcsin x ～ arctan x ～ ln(1 ? x) ～ e x ? 1 。 说明：当上面每个函数中的自变量 x 换成 g(x) 时（ g(x) ? 0 ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当 x ? 0 时， e3x ?1 ～ 3x ； ln(1 ? x 2 ) ～ ? x2 。 定理 4 如果函数 f (x), g(x), f (x), g (x) 都是 x ? x 时的无穷小，且 f (x) ～ 01 1 0 f ( x) f ( x) f (x) ， g(x) ～ g 1 1 (x) ， 则 当 lim x? x 0 1 g ( x) ，即 = ，即 = 存 在 时 ， lim x? x 0 g ( x) 也 存 在 且 等 于 f (x) lim f ( x) 1 lim f ( x) lim f ( x) 1 。 x? x 0 g ( x) 1 x? x 0 g ( x) x? x 0 g ( x) 1 洛比达法则 定理 5 假设当自变量 x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数 f (x) 和 g(x) 满足： f (x) 和 g(x) 的极限都是 0 或都是无穷大； f (x) 和 g(x) 都可导，且 g(x) 的导数不为 0； lim f ?( x) g ?( x) 存在（或是无穷大）； 则极限  lim f ( x) g ( x)  也一定存在，且等于  lim f ?( x) g ?( x) ，即lim f ( x) g ( x) =  lim f ?( x) g ?( x) 。 说明：定理5 称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不 满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限 0 ? ?是否为“ ”型或“ ”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕 ? 0 后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。 连续性 定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果 x 是函数 f (x) 的定义去间 0 内的一点，则有 lim x? x0 f (x) ? f (x ) 。 0 极限存在准则 定理 7（准则 1） 单调有界数列必有极限。 定理 8（准则 2） 已知{x }