数学北师大版八年级下册三线合一.docx

专题训练(六) “三线合一”好解题 类型之一 证明线段相等 已知：如图 6－ZT－1 所示，在等边三角形 ABC 的 AC 边上取中点 D，BC 的延长线上取一点E，使CE＝CD.求证：BD＝DE. 图 6－ZT－1 [解析] 欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E.根据等腰三角形的“三线合一”和等边三角 形的性质可得∠DBE＝1∠ABC＝30°.再根据三角形的外角性质和等边三角形的性质可得∠E 2 ＝30°.由此可得结论． 证明：∵△ABC 为等边三角形，BD 是 AC 边上的中线，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC， ∴∠DBE＝1∠ABC＝30°.(等腰三角形的“三线合一”) 2 ∵CD＝CE，∴∠CDE＝∠E. ∵∠ACB 为△CDE 的外角，∠ACB＝60°， ∴∠CDE＋∠E＝60°. ∴∠CDE＝∠E＝30°. 又∵∠DBE＝30°， ∴BD＝DE.(等角对等边) 如图 6－ZT－2 所示，点D，E 在△ABC 的边BC 上，AB＝AC，BD＝CE. 求证：AD＝AE. 图 6－ZT－2 [解析] 本题可通过全等三角形来证线段相等．在△ABD 和△ACE 中，已知AB＝AC， BD＝EC 且∠B＝∠C，由此可证得两三角形全等，即可得出AD＝AE 的结论．也可根据等腰三角形三线合一来证明． 证明：过点A 作AF⊥BC 于点 F. ∵AB＝AC，AF⊥BC， 图 ZT－6－1 ∴BF＝CF.(等腰三角形底边上的高是底边上的中线) 又∵BD＝CE， ∴BF－BD＝CF－CE，即DF＝EF， ∴AF 是 DE 的垂直平分线，∴AD＝AE. 类型之二 证明两线垂直 如图 6－ZT－3 所示，在△ABC 中，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，求证：AD⊥BC. 图 6－ZT－3 [解析] 首先证明∠DBC＝∠DCB，可得 DB＝DC，再加上条件 AB＝AC，公共边 AD ＝AD，可利用 SSS 证明△ABD≌△ACD，进而得到∠BAD＝∠CAD，再根据等腰三角形顶角的平分线与底边上的高线重合可证出 AD⊥BC.本题通过证明 AD 是 BC 的垂直平分线也可得证，如下面的证法． 证明：延长 AD 交 BC 于点 M，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABC－∠ABD＝∠ACB－∠ACD，即∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC.∵AB＝AC，DB＝DC， ∴AD 是线段BC 的垂直平分线，∴AD⊥BC. 图 ZT－6－2 如 图 6－ZT－4， 在 △ABC 中 ，AB＝AC，D 为 AC 上 一 点 ，∠DBC  1 BAC.求证： AC⊥BD. ＝2∠ 图 6－ZT－4 [解析] 首先过点 A 作 AE⊥BC 交 BC 于点 E，交 BD 于点 F.由 AB＝AC，根据等腰三 角形“三线合一”的性质，可得∠CAE＝1∠BAC，又由∠DBC＝1∠BAC，在△ADF 与△BEF 2 2 中，易证得∠ADF＝∠BEF＝90°，即可得 AC⊥BD. 证明：如图 ZT－6－3，过点A 作AE⊥BC 于点E，交BD 于点 F. ∵AB＝AC，AE⊥BC， 图 ZT－6－3 ∴∠CAE 1 BAC.(等腰三角形的“三线合一”) ＝2∠ 又∵∠DBC 1 BAC， ＝2∠ ∴∠CAE＝∠DBC. ∵∠1＝∠2，∠ADF＝180°－∠2－∠CAE，∠BEF＝180°－∠1－∠DBC， ∴∠ADF＝∠BEF. ∵AE⊥BC，∴∠BEF＝90°. ∴∠ADF＝90°.∴BD⊥AC. 类型之三 证明角的倍分关系 已知：如图 6－ZT－5 所示，AF 平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为 E，AE＝ED，PB 分别与线段CF，AF 相交于点P，M，∠F＝∠MCD.求证：∠BAC＝2∠MPC. 图 6－ZT－5 2[解析] 先由AF 平分∠BAC 证明∠BAE＝1∠BAC，再根据等腰三角形“三线合一”和 2 线段垂直平分线的性质证明∠CDE＝∠BAE.从而∠CDE＝1∠BAC.然后在△MDC 和△MPF 2 中证明∠MDC＝∠MPF.进而得∠MPF＝∠MDC，∠MPC＝∠CDE＝1∠BAC 即可． 2 证明：∵AF 平分∠BAC，BC⊥AF， ∴∠BAE＝∠CAE＝1∠BAC，CE＝BE. 2 ∵CE⊥AE，AE＝ED， ∴AC＝CD. ∴∠CDE＝∠CAE＝1∠BAC. 2 ∵BC⊥AF，CE＝BE， ∴CM＝BM. ∴∠CMA＝∠BMA. 又∵∠BMA＝∠PMF， ∴∠CMD＝∠PMF. 又∵∠F＝∠MCD，∠MPF＝180°－(∠F＋∠PMF)，∠MDC＝180°－(∠MCD＋∠CMD)， ∴∠MPF＝∠MDC. ∴∠MPC＝∠CDE＝∠CAE＝1∠BAC. 2 ∴∠BAC＝2∠MPC. 类型之四 证明