广东工业大学线性代数试题A卷2(含答案).docx

广东工业大学试卷用纸，共 3 广东工业大学试卷用纸，共 3 页，第 PAGE 1 页 广东工业大学考试试卷 ( A ) 课程名称: 线性代数 试卷满分 100 分 考试时间: 2010 年 1 月 5 日 (第 19 周 星期 二 ) 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分评卷得分 评卷签名复核得分复核签名 一、 填空题（每小题 4 分，共 20 分）： 学 1、函数 f (x) ? 2x x 1 x 3 1 中, x 3的系数为 . 2 1 x ?1 0? ?1 ?1? ? A 0 ? 22、设 A ? ? ?, A ? ? ? ， A ? ? 1 ? ，则A?1 ? . 2 ??1 ? 0 3? 2 ? ? ?1 0 ? 0 A ? 1 0 2 ? ??3、设 A 是4 ? 3 矩阵，且 R( A) ? 2 ，而 B ? ? 0 2 0 ?，则 R( AB) ? . ? ? ? ?1 0 3? ? ? ? 2 ? ? ? 4、设矩阵 A 与 B ? ? 3 ? ? ? 相似，则 | A* ? E |???. ?? 3? ? ? 1 ? 1 ? 5、若? ? 2 为可逆阵 A 的特征值，则? 3 A2 ? 的一个特征值为 . ： 名姓线： 号 ： 名 姓 线 ： 号 订 ： 业 专 装 ： 院 学 二、 选择题（每小题 4 分，共 20 分）： 1、下列命题正确的是（ ）。 若 AB ? E ，则 A 可逆且 A ? 1 ? B 方阵 AB 的行列式阶子式| AB |?| BA | 若方阵 AB 不可逆，则 A , B 都不可逆 若 n 阶矩阵 A 或 B 不可逆，则 AB 必不可逆 2、设 A 为 n 阶矩阵， A*为其伴随矩阵，则 kA* ? ( ). （A） k n A （B） k A n k n A n ?1 （D） k n ? 1 A n 3、若非齐次线性方程组 Ax ? b 中方程个数少于未知数个数，那么( ). Ax ? b 必有无穷多解； (B) Ax ? 0 必有非零解； (C) Ax ? 0 仅有零解； (D) Ax ? 0 一定无解. 4 、 设 有 向量 组 α ＝(1,- 1,2,4) ， α ＝(0,3,1,2) ， α ＝(3,0,7,14) ， α ＝(1,- 2,2,0) 与 1 2 3 4 α ＝(2,1,5,10)，则向量组的极大线性无关组是（ ） 5 （A） α ，α ，α 1 2 3 ； (B) α ，α ，α ； 1 2 4 (C) α ，α ，α 1 2 5 ； (D) α ，α ，α ，α . 1 2 4 5 5、设 A 、 B 为 n 阶实对称可逆矩阵，则下面命题错误的是（ ） （A）有可逆矩阵 P 、Q 使得 PBQ ? A （B）有可逆矩阵 P 使得 P ?1 ABP ? BA （C）有可逆矩阵 P 使得 P ?1 B 2 P ? A2 三、计算行列式（6 分）： 有正交矩阵P 使得 P ?1 AP ? PT AP ? B 设 A ? ，计算 A ? A 1? 1 ? 5 1 3 1 1 3 4 1 1 2 3 2 2 3 4 A ? A 43 44 的值，其中 A 4i (i ? 1,2,3,4) 是代数余子式. ? 4 2 3? 四、（10 分）设矩阵 X 满足关系 AX ? A ? 2X ，其中 A ? ? 1 1 0 ? ，求 X . 五 （10 分）  ? x ? 3 x ? x ? 0 ? 1 2 3 ? ? ? ?? ?1 2 ? ? 、 设线性方程组为 ?x ? 4 x ? a x ? 1 2 3 ? b ，问： a 、b 取何值时，方程组无 ?2 x ? x ? 3 x ? 5 1 2 3 解、有唯一解、有无穷多解？ 在有无穷多解时求出其通解。 六、（10 分）设?1 ,?2 ,? ,?k 是 Ax ? 0 的一个基础解系，? 不是 Ax ? 0 的解，即 A? ? 0 ， 讨论：向量组?, ? ? ? , ? ? ? ,? , ? ?? 线性相关还是线性无关？. 1 2 k ? 4 6 0? 七、（10 分）设 A ? ? ?3 ?5 0? ，问 A 能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵P ， ? ? ? ?? ?3 ?6 1 ? ? 使得P-1AP 为对角阵. 八、（共 14 分）证明题： 1、（6 分）若 A 为n 阶幂等阵（ A2 ? A ），求证： r( A) ? r( A ? E ) ＝ n . n 2、（8 分）设 A 是m ? n 实矩阵, ? ? 0 是m 维实列向量， 证明：（1）秩r( A) ? r( ATA)