数列通项公式用求法及构造法.docx

PAGE PAGE 1 数列通项公式的常用求法 构造法求数列通项公式 一、构造等差数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 f (n ? 1) ? f (n) =A（其中 A 为常数）形式，根据等差数列的定义 知 f (n) 是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出 f (n) 的通项公式，再 根据 f (n) 与a ?n ? ，从而求出a n 的通项公式。 例 1 在数列{a } 中，a = 1 ，a 3an （ n ? N ? ），求数列{a } 通项公式. n 1 2 n?1 a ? 3 n ?n ? 解析：由 a 3a 得，a a =3 a -3 a =0，两边同除以 a a 得， n1 ? 1 n an?1 an a n?1 ? 1 ， 3 a ?3 n n+1 n n+1 n n+1 n 设 bn= 1 ，则 bn+1 an a - bn = 1 ，根据等差数列的定义知， 3 3数列｛bn｝是首项 b1=2，公差 d= 1 的等差数列， 3 根据等差数列的通项公式得 bn=2＋ 1 （n-1）= 1 n＋ 5 ∴数列通项公式为 an= 3 3 3 3 n?5 例 2 在数列｛a ｝中，S 是其前 n 项和，且S ≠0，a =1，a = 2 S 2 (n≥2)， n n 。求 Sn 与 an 。 n 1 n n S2 S n ?1 解析：当 n≥2 时，a =S -S 代入 a = 2 S 2 得，S -S = 2 S 2 ，变形整理 nn n n-1 n n S2 S n ?1 n n-1 n S2 S n ?1 得 Sn-Sn-1= SnSn-1 两边除以SnSn-1 得， 1 ？Sn ？ S - 1 Sn?1 =2，∴｛ 1 S n ｝是首相为 1，公 差为 2 的等差数列 n∴ 1 =1+2（n-1）=2n-1, ∴ S = n S n  1 2 n?1 (n≥2),n=1 也适合，∴Sn=  1 2 n?1 (n≥1) 当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1= 1 - 2 n?1 1 =- 2 n?3  2 4n2 ?8n?3 ，n=1 不满足此式， ∴an={ 1 ?2 4n2?8n?3 n ? 1 n ? 2 二、构造等比数列求数列通项公式 运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为 f（n+1）=Af（n）（其中 A 为非零常数）形式，根据等比数列的定义 知 f (n) 是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出 f (n) 的通项公式，再根 据 f (n) 与a n ，从而求出a n 的通项公式。 例 3 在数列｛a ｝中，a =2，a =a n 1 n 1 n 2(n≥2)，求数列｛an｝通项公式。 解析：∵ a1=2，an=a n-1 2(n≥2)＞0，两边同时取对数得，lg an=2lg an-1 ∴lg a ∴ n lg a n-1 =2， 根据等比数列的定义知，数列｛lg an｝是首相为lg2，公比为 n ?1 2 的等比数列，根据等比数列的通项公式得 lg an=2n-1lg2= lg 22n ?1 ∴数列通项公式为 an= 2 2n ?1 评析：本例通过两边取对数，变形成log a ? 2 log a 形式，构造等比数列 n n?1 ?log a n }，先求出log a n 的通项公式，从而求出a n 的通项公式。 a例 4 在数列｛ a n ｝中，a1 =1，an+1 =4an +3n+1，求数列｛an ｝通项公式。 解析：设 an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B 为待定系数），展开得 3A ? 3 A ? 1 an+1=4an+3An+3B-A，与已知比较系数得{ ∴{ 3B ? A ? 1 B ? 2 3 3∴an+1+（n+1）+ 2 3 =4（a +n+ 2 n3 n ），根据等比数列的定义知， 数列｛an+n+ 2 ｝是首项为 8 ，公比为 q=3 的等比数列，∴an+n+ 2 = 8 × 3 3 3 3 3n-1 n∴数列通项公式为 a = 8 n 3 ×3n-1-n- 2 3 例 5 在数列｛an｝中，a1=1 ，an+1an=4n ，求数列｛an｝通项公式。 a解析：∵an+1an=4n ∴anan-1=4 n-1 两式相除得 an ?1 a =4 ， 51 3∴a ，a ，a 5 1 3 2 4 的等比数列， n ?1 ，a 6 ……是首相分别为 a1，a ，公比都是 4 2 又∵a1=1，an+1a