在数学发展中.ppt

1.3.3 有效数字 例5. 3.142作为π的近似值时有几位有效数字 解： 3.141592…= 0.3141592…× 3.142 = 0.3142× m = 1 |π-3.142 |=|0.3141592…× -0.3142×? | ＜ 0.000041× ＜ 0.0005= × m –n =1–n =-3 所以 n =4，具有4位有效数字 第三十页，共六十一页。 例6. 当取3.141作为?的近似值时 ??-3.141?=?0.3141592…?101 -0.3141?101? ≤0.0000592 ?101 0.005=1/2 ? 10-2 m-n=1-n=-2 所以n=3具有3位有效数字 推论 如果近似数x*误差限是某一位的半个单位, 由该位到x*的第一位非零数字一共有n位 x*就有n位有效数字,也就是说准确到该位 第三十一页，共六十一页。 再如3.1416作为?的近似值时 ? ?-3.1416 ?=? 0.3141592…?101-0.31416?101 ? ≤0?101 ≤ 000005 0.5 ? 10-4 m-n=1-n=-4 所以 n=5 x*= 3.1416有5位有效数字 第三十二页，共六十一页。 关于有效数字说明 ① 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则 x*必有n位有效数字。如3.142作为 ?的近似值 有4位有效数字，而3.141为3位有效数字 ② 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定 相同。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者 均有5位有效数字但绝对误差不一样 ?x- x1* ?=?x- 12345? ≤ 0.5= 1/2 ? 100 ?x- x2* ?=?x- 12.345?≤0.0005=1/2?10-3 ③ 把任何数乘以10p(p=0,?1,…)不影响有效位数 ④ 准确值具有无穷多位有效数字,如三角形面积 S=1/2ah=0.5ah 因为0.5是真值,没有误差 ?*=0,因此n??,准确值具有无穷位有效数字 第三十三页，共六十一页。 1.3.4 有效数字与相对误差 定理1.1 若近似数x*=?0.x1x2…xn?10m具有 n 位 有效数字，则其相对误差 证: ∵ x* = ?0.x1x2…xn?10m ∴ ?x*? ≥x1?10 m-1 又 ∵ x*具有n位有效数字,则?x- x*?≤1/2?10 m - n ∴ 第三十四页，共六十一页。 一般应用中可以取?r*=1/2x1 ?10-(n-1),n越大,?r*越小, ∴有效数字越多，相对误差就越小 例7 取3.14作为?的四舍五入的近似值时，求其 相对误差 解：3.14=0.314 ?101 x1=3 m=1 ∵ 四舍五入的近似值,其各位都是有效数字 ∴ n=3 ?r*=1/2x1 ?10-(n-1)=1/2*3 ?10-2=17% 1.3.4 有效数字与相对误差 第三十五页，共六十一页。 例8 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相 对误差限 解：已知 n=2 代入公式 ?r*=1/2x1 ?10-(n-1)得 ?r*=1/2x1 ?10-1 x*的第一位有效数字x1没有给出，可进行如下讨论：当 x1=1 ?r*=1/2x1 ?10-1=1/2*1 ?10-1=5% x1=9 ?r*=1/2x1 ?10-1=1/2*9 ?10-1=0.56% 取 x1=1 时相对误差为最大，即 5% 1.3.4 有效数字与相对误差 第三十六页，共六十一页。 1.3.4 有效数字与相对误差 定理1.2 若近似数x*=?0.x1x2…xn?10m相对误差 则该近似数具有n位有效数字 证:∵ x*=?0.x1x2…xn?10m ∴ ? x* ?≤ (x1+1) ?10m-1 由有效数字定义可知,x*具有n位有效数字。证毕 第三十七页，共六十一页。 例9 已知近似数x*的相对误差限为0.3%，问x* 有几位有效数字？ 解：由 得 ⅰ当x1=1时,3?10-3=1/4?10-(n-1)?12?10-3=10-(n-