第4讲 数列选择题压轴题（解析版）.docx

第4讲 数列选择题压轴题 一、单选题： 1．（浙江名校协作体开学考试）已知数集具有性质P：对任意的，或成立，则（ ） A．若，则成等差数列 B．若，则成等比数列 C．若，则成等差数列 D．若，则成等比数列 【答案】D 【解析】∵具有性质P，∴或中至少有一个属于，由于，∴，故，从而，故；∵，∴，故由具有性质可知，又∵，∴， 当时，有，即，∵，∴，故，由具有性质可知，由，得，且，∴，∴：，即是首项为1，公比为的等比数列． 故选D． 【点睛】本题考查了利用条件进行等比数列的判断，根据大小确定顺序及判断是否符合条件是解题关键，需要较强的逻辑思维能力和计算能力，属于难题． 2．（浙江省宁海中学高三零模）若数列满足，，记数列的前n项和是，则（ ） A．若数列是常数列，则 B．若，则数列单调递减 C．若，则 D．若，任取中的9项构成数列的子数列，则不全是单调数列 【答案】C 【分析】对于A：由数列为常数数列，则，解方程可得的值； 对于B：由函数，，求得导数，判断单调性和极值，即可进行判断； 对于D：由，判断的奇偶性和单调性，结合正弦函数的单调性，可得数列都是单调数列，即可进行判断． 【解析】对于A：若数列为常数列，则，或，故A错误； 对于B：若，，，设函数，，由，可得极值点唯一且为，极值点为，由，可得， 则，即有 由于，，由正弦函数单调性可得， ∴数列是单调递增函数，故B错误； 对于D：若，任取中的9项，，，，， 构成数列的子数列，，2，，9，是单调递增数列； 由，可得，为奇函数； 当时，，时，； 当时，；时，， 运用正弦函数的单调性可得或时，数列单调递增； 或时，数列单调递减，∴数列都是单调数列，故D错误，故选C． 【点睛】本题考查数列的单调性的判断和运用，考查正弦函数的单调性和应用，和分类讨论的数学思想，属于难题． 3．（江苏三校联考）已知数列，，，则当时，下列判断不一定正确的是（ ） A． B． C． D．存在正整数k，当时，恒成立 【答案】C 【分析】根据递推关系式利用数学归纳法证明A正确，利用分析法证明B正确，取特值可说明C不正确，两边平方后利用放缩法可得，即可得到，分析恒成立的条件即可． 【解析】，，当时，，当时取等号， 假设时，，当时，，由函数在上单调递增知 ，由以上可知，对成立，故A正确． 若成立，则需成立，即成立， 而成立，故原命题，B正确； 取，则，，此时，，∴可知C不正确； ，，故， 故，取的正整数，则有时，恒成立，故D正确．故选C． 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，数学归纳法，分析法证明，特值法排除，放缩法等不等式的性质，考查推理能力，运算能力，属于难题． 4．（安徽皖北协作区联考（文））已知数列满足，其前项和，数列满足，其前项和为，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用与关系可证得为等差数列，由此可求得，将进行裂项后，前后相消可求得，将问题转化为；令，可证得为递增数列，由此得到． 【解析】当时，，解得：或，又，； 当时，由得：， ，整理可得：， ，，即，是以为首项，为公差的等差数列，； 经检验：满足； 综上所述：， ， ， 由得：， 令，则， 为递增数列，，，即实数的取值范围为．故选A． 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够采用裂项相消的方法求得，对于通项公式中含有类型的数列进行裂项求和时，需注意将通项裂成两项之和的形式，进而利用的波动性前后相消得到结果． 5．（浙江省宁海中学高三月考）对于，，若正整数组满足，，则称为的一个拆，设中全为奇数，偶数时拆的个数分别为，，则（ ） A．存在，使得 B．不存在，使得 C．存在，使得 D．不存在，使得 【答案】D 【分析】任意的，至少存在一个全为1的拆分，判断选项A；当为奇数时，判断能否是全偶拆分，判断选项B；选项，可以举例发现规律，判断选项． 【解析】对于任意的，至少存在一个全为1的拆分，故A错误； 当为奇数时，，故B错误； 当为偶数时，是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了和的均为奇数的拆， 当时，偶数拆为，奇数拆为，； 当时，偶数拆为，，奇数拆为，； 故当时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故，故C错误，D正确．故选D． 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，关键是读懂题意，理解定义，并能根据选项举例解决问题． 6．（湖南常德市一中高三月考）对任一实数序列，定义序列，它的第项为．假定序列的所有项都为1，且，则（ ） A．1000 B．2000 C．2003 D．4006 【答案】D 【分析】是公差为的等差数列，可先设出的首项，然后表示出的通项，再用累加法表示出序列的通项，再结合求出的首项和的首项，从而求出序列的通项公式，进