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第7讲 函数填空压轴题
1.(浙江省宁海中学高三月考)已知,,若有两零点、,且,则的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由可得出,令,可知函数与函数图象的两个交点的横坐标、满足,对实数的取值进行分类讨论数形结合可得出关于实数的不等式,综合可得出实数的取值范围,即为所求.
【解析】
由可得,等式两边同除以,可得.
令,可得,即,设,
①当时,作出函数与函数的图象如下图所示,
若使得两个函数的图象有两个交点,则,解得,且,
由,解得,由,解得,
,不合乎题意;
②当时,作出函数与函数的图象如下图所示,
,此时两个函数图象没有交点,不合乎题意;
③当时,则,
两个函数图象没有交点,不合乎题意;
④当时,作出函数与函数的图象如下图所示,
此时,两个函数的图象有两个交点,且,
(i)若,即时,
由,解得,由,解得,
,合乎题意;
(ii)若时,则,则,不合乎题意;
(iii)当,即时,
由,可得,由,可得,
此时,不合乎题意.
综上所述,的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】
方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.
2.(江苏省滨海中学高三月考)对任意的,不等式恒成立,则的最小值为______.
【答案】
【分析】
根据不等式恒成立,构造,有,利用二阶导数研究单调性,再讨论、时的单调性,进而确定在上的最小值及对应m、n的关系式,将与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题,求的最小值即可.
【解析】
令,则,即,
∴单调递增,
∴当时,,即在上递减,而当时,,故不满足;
当时,若得,即,
∴时,,即递减;当时,,即递增;若令,即,
则:①当,即,恒成立;
∴情况下最小,即直线与曲线相切,而,
∴时,,有,,则;
当,即,,得,
∴情况下最小,即直线与曲线相切,而,
∴时,,有,,则;
∴综上:,即的最小值为.
故答案为:.
【点睛】
关键点点睛:根据不等式恒成立,利用导数、分类讨论的方法判断单调性,并构造函数结合导数确定目标代数式中参数的关系,由所得条件中代数式的几何含义求最小值
3.(湖北高三月考)已知不等式对任意恒成立,则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
设,,对实数的取值进行分类讨论,利用导数分析函数的单调性与最值,根据已知条件列出关于实数的不等式(组),综合可求得实数的取值范围.
【解析】
设,,其中,则,
①当时,对任意的恒成立,此时,函数在上单调递减,
当时,,
对于函数,该函数的对称轴为直线,
函数在上单调递增,当时,,
所以,当时,,不符合题意;
②当时,令,可得,列表如下:
极小值
所以,.
(i)当时,即当时,,则,不符合题意;
(ii)当时,即当时,则,此时,即.
对于函数,,
所以,当时,,,则对任意的恒成立.
综上所述,实数的取值范围是.
故答案为:.
【点睛】
结论点睛:利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:
(1),;
(2),;
(3),;
(4),.
4.(天津南开区·南开中学高三月考)已知.设函数若关于x的不等式恒成立,则a的取值范围为________.
【答案】
【分析】
欲利用单调性求值域,确定将,,分成三类讨论,又根据具体情况,在每一类情况下又细分,讨论出符合恒成立的a的取值范围.
【解析】
(1)当时,,的值域为,则恒成立,
故成立
(2)当时,
当,单调递减,故此时.
当时,,当时,单调递增;当时,单调递减
①当时,在上单调递增.
此时的值域为,恒成立
②当时,在时,取得最小值
当时,,则恒成立
当时,.此时若即时,,此时不符合题意
故
,恒成立,
(3)当时,时,为单调递增的一次函数,.
时
在上为增函数,值域为
要有意义,则此时,.
,故
因此,恒成立
综上所述,
故答案为:
【点睛】
(1)分段函数问题中参数值影响变形时,往往要分类讨论,需有明确的标准、全面的考虑,注意小分类要求交,大综合要求并.
(2)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求.
(3)分段函数的最值的求法:先求每一段的最大(小)值,再把每一段的最大(小)值比较,即得到函数的最大(小)值.
5.(北京西城区·高三一模)长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数(蓄满指数=(
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