第2讲 导数选择压轴题（解析版）.docx

第2讲 导数选择压轴题 一、单选题： 1．（湖北B4联盟）已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】等价于，令，，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数．对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果． 【解析】由题干条件可知：等价于， 令，，则 ， ， 当时，，当时， ∴在上单调递增，在上单调递减，则有最大值 ． 令，，则，当时，此题无解，∴， 则，当，当， ∴在上单调递减，在上单调递增，则有最小值． 若成立，只需，即，即， 两边取对数可得：．时，等式成立，当时，有， 令，本题即求的最大的正整数． 恒成立，则在上单调递减，，，，∴的最大正整数为9．故选C． 【点睛】本题考查构造函数法解决恒成立问题． 方法点睛：双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为，若，则复合恒成立的情况． 2．（湖北B4联盟）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据包含关系可得在上恒成立即在上恒成立，就分类讨论后可得正确的选项． 【解析】先考虑不等式的解，∵均为上的增函数， 故为上的增函数，故． 故为不等式的解集的子集，即在上恒成立， 故在上恒成立． 令，则，故当时，，故在上为减函数； 当时，，故在上为增函数； 当时，∵，故，故在上恒成立，即在上恒成立，令，故， 当时，，当时，，故在上为增函数，在上为减函数， 故，故即． 若，当时，∵，故，∴（注意恒成立），故符合题意． 当时，∵在上恒成立， 故，即， 设，则，故在上为增函数， 故，故不成立，故舍去，综上，．故选A． 【点睛】思路点睛：导数背景下的不等式恒成立问题，应该根据不等式中解析式的特点合理转化，特别是对于指数与对数同时出现的形式，可利用同构的思想进行转化． 3．（浙江绍兴市·高三期末）已知、，且，对任意均有，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】推导出与符号相同，构造函数，然后对四个选项中的条件逐一验证，即可得出合适的选项． 【解析】，故与的符号相同， 当时，；当时，． ∴与的符号相同． ， 令，∴当时，恒成立， 令，可得，，． ，分以下四种情况讨论： 对于A选项，当，时，则，当时，，不合乎题意，A选项错误； 对于B选项，当，时，则， 若，若、、均为正数， ①若，则，当时，，不合乎题意； ②若，则，当时，，不合乎题意． ③若、、都不相等，记，则当时，，不合乎题意． 由上可知，，当时，若使得恒成立，则，如下图所示， ∴当，时，且，时，当时，恒成立； 对于C选项，当，时，则， ①若时，则当时，，不合乎题意； ②当时，构造函数，其中，， 函数在上单调递增，则，． 当时，由于，则，不合乎题意，C选项错误； 对于D选项，当，时，则，此时、、为正数． ①当、、都不相等时，记，当时，，不合乎题意； ②若，则，当时，，不合乎题意； ③当时，，当时，， 不合乎题意． ∴D选项错误．故选B． 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点： （1）分析与同号； （2）对、、的大小关系进行讨论，结合穿针引线法进行验证． 4．（江苏省天一中学高三二模）若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，设函数，，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围． 【解析】设函数，，∵，∴，或，∵ 时，，或时，，，其图象如下： 当时，至多一个整数根； 当时，在内的解集中仅有三个整数，只需， ，∴．故选C． 【点睛】本题考查不等式的解法和应用问题，还涉及利用导数求函数单调性和函数图象，同时考查数形结合思想和解题能力． 5．（江西八校4月联考）已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，构造函数，利用导数研究函数的单调性及极值，又时，；当时，，作出函数的图像，利用数形结合思想即可求解． 【解析】由题意，得， 设，求导 令，解得 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故当时，函数取得极大值，且 又时，；当时，，故； 作出函数大致图像，如图所示： 又，， ∵存在唯一的整数，使得与的图象有两个交点，由图可知：，即，故选B． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参