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初中数学·几何综合 几何模型·专题复习 ——费马点 一、费马点及结论 费马点：就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。 费尔马的结论：对于一个各角不超过 120°的三角形，费马点是对各边的 张角都是 120°的点；对于有一个角超过 120°的三角形，费马点就是这个内角 的顶点。 二、费马点结论的证明 例：P 为△ABC 内任一点，请找点 P 使它到△ABC三个顶点的距离之和 PA+PB+PC 最小？ （1）当△ABC 各角不超过 120°时，如下图。 解析：如图，把△APC 绕 A 点逆时针旋转 60°得到△AP ′C′，连接PP′． 则△APP ′为等边三角形，AP= PP ′，P′C′=PC， 所以 PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′． 点 C′可看成是线段AC 绕 A 点逆时针旋转 60°而得的定点，BC′为定长 ， 所以当 B、P、P′、C′ 四点在同一直线上时，PA+PB+PC 最小． 这时∠BPA=180°-∠APP ′=180°-60°=120°， ∠APC=∠A P ′C′=180°-∠AP ′P=180°-60°=120°， ∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120° 因此，当△ABC的每一个内角都小于 120°时，所求的点 P 对三角形每边 的张角都是 120°，可在 AB、BC 边上分别作 120°的弓形弧，两弧在三角形内的 交点就是 P 点。 （2）当△ABC 有一个内角超过 120°时，如下图。 解析：如图，延长 BA 至 C使得 AC=AC，做∠CAP=∠CAP，并且使得 AP=AP, PC=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC 以A 为中心做了个旋转） 则△APC≌△APC ∵∠BAC≥120° ∴∠PAP=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60° ∴等腰三角形PAP中，AP≥PP ∴PA+PB+PC≥PP+PB+PCBC=AB+AC 所以 A 是费马点 因此，当△ABC 有一内角大于或等于 120°时，所求的 P 点就是钝角的顶点． 三、费马点的求法 当△ABC 是三个内角皆小于 120°三角形时，分别以 AB、BC、CA 为边，向 三角形外侧做正三角形△ABD、 △ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记 作点 P，则点P 就是所求的费马点。 四、费马点的验证 1.△ABC是等边三角形，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接 DC、EB，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论： ①AP=BP=CP； ②∠APB=∠BPC=∠APC=120°； ③△ABP、△ACP、△BCP全等； ④点P是垂心，是△ABC各边的高线的交点； ⑤点P是△ABC各边的中线的交点； ⑥点P是内心，是在三角形三个内角的角平分线的交点； ⑦△ABC 的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小。 2.△ABC是等腰三角形，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接 DC、EB，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论： ①∠APB=∠BPC=∠APC=120°； ②△ABP与△ACP全等； ③△BCP为等腰三角形； ④△ABC 的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且 点P为费马点时和最小。 3.△ABC是直角三角形，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接 DC、EB，交点为点P，点P为费马点。则可得出结论： ①△ABC 的三顶点的距离之和为AP+BP+CP，且点P为费马点时和最小； ②∠APB=∠BPC=∠APC=120° 五、费马点与中考题 例 1 （2008 年广东中考题）已知正方形ABCD 内一动点E 到 A、B、C 三点 的距离之和的最小值为 2 6，求此正方形的边长． 图 1