高一数学讲义-指数运算与指数函数.docVIP

PAGE / NUMPAGES 第4讲 第4讲 指数运算与指数函数 高考要求 高考要求 指数运算和 指数函数 要求层次 重点 难点 幂的运算 C ①根式的概念 ②有理指数幂 ③实数指数幂 ④幂的运算 ①分数指数幂的概念和运算性质 ②无理指数幂的理解 ③实数指数幂的意义 指数函数的概念 B 在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数 在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数 指数函数的图象和性质 C ①对于底数与时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质 ①对于底数与时指数函数的不同性质 ②掌握指数函数的图象和运算性质 ③掌握指数函数作为初等函数与二次函数、对数函数结合的综合应用问题 知识精讲 知识精讲 板块一：指数,指数幂的运算 （一）知识内容 1．整数指数 ⑴ 正整数指数幂：，是个连乘的缩写（），叫做的次幂，叫做幂的底数，叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵整数指数幂：规定：，． 2．分数指数 ⑴ 次方根：如果存在实数，使得，那么叫做的次方根． ⑵ 求的次方根，叫做开次方，称做开方运算． ① 当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．这时，的次方根用符号表示． ② 当是偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数．正数的正、负次方根分别表示为：，，可以合并写成． ⑶正数的正次方根叫做的次算术根． 负数没有偶次方根．的任何次方根都是，记作． ⑷式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数（当有意义时） 3．根式恒等式： ；当为奇数时，；当为偶数时，． 4．分数指数幂的运算法则 ⑴正分数指数幂可定义为： ⑵负分数指数幂可定义为： 5．整数指数幂推广到有理指数幂的运算性质： ⑴ ⑵ ⑶ 6．次方根的定义及性质：为奇数时，，为偶数时，． 7．分数指数幂与根式的互化：，（，，且） 零的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 8．指数的运算性质：，（其中，） 9．无理数指数幂 ⑴ 无理指数幂是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 10．一般地，当，为任意实数值时，实数指数幂都有意义． 对任意实数，，上述有理指数幂的运算法则仍然成立． （二）典例分析 求下列各式的值： ⑴ ；⑵ ； ⑶ ； ⑷ ；⑸ ． ⑹；⑺；⑻；⑼． 计算下列各式： ⑴ ； ⑵ ． 用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）： ⑴ ；⑵ ；⑶ ． 若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 设，，，则，，的大小关系是（ ） 设 ，那么的值是（ ） 若，求 已知，求的值． 下列判断正确的有 ①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 板块二：指数函数及其性质 （一）知识内容 1．指数函数：一般地，函数，，叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比 指数的取值 0＜a＜1 a＞1 图象 定义域 R 值域 性质 （1）过定点，即时， （2）在上是减函数 （2）在上是增函数 3．（且）的图象特征： 时，图象像一撇，过点，且在y轴左侧a越大，图象越靠近y轴（如图1）； 时，图象像一捺，过点，且在y轴左侧a越小，图象越靠近y轴（如图2）； 与的图象关于y轴对称（如图3）． 图 图 图 （二）主要方法： 1．指数方程，指数不等式：常要转化为同底数的形式，在利用指数函数的单调性求解； 2．确定与指数有关的函数的单调性时，常要注意针对底数进行讨论； 3．要注意运用数形结合思想解决问题． （三）典例分析： 已知，比较下列各组数的大小： ①；② ；③；④． （2009年江苏卷）已知，函数，若实数满足，则的大小关系为 ． 图中的曲线是指数函数的图象，已知取四个值，则相应于曲线的依次为_______________． 求下列函数的定义域、值域 ⑴ ； ⑵； ⑶ 板块三：指数函数和其它函数的运算与复合 （一）知识内容： 复合函数的单调性与奇偶性，重点研究学生熟悉的二次函数的复合，复合函数单调性的判断是重点也是难点． 1．和差函数的单调性 两个增函数（或减函数）的和仍为增函数（或减函数），一个增函数（或减函数）减去一个减函数（或增函数），结果是一个增（或减）函数． 2．复合函数的奇偶性、单调性有如下规律： 值得注意的是，当且仅当外层函数的定义域与内层函数的值域的交集非空时才能构成复合函数，复合函数奇偶性：两奇才为奇； 复合函数单调性：同增异减 奇 奇 奇 增