高等代数课程教学大纲.doc

高等代数课程教学大纲 （总学时：80 学分数：5） 一、课程的性质、任务和目的 高等代数是大学本科小学教育专业数学与科学方向类必修的一门重要的专业课课程，它为学生进一步提高数学专业知识水平提供所必需的代数基础知识和基本方法。通过本课程的学习，使学生掌握一元多项式及线性代数的基本知识和基础理论,且对初等代数的内容有比较深入的了解，初步熟悉和掌握抽象的、严格的代数方法，理解具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，提高抽象思维、逻辑推理及运算能力。 二、课程基本内容和要求 （一）多项式理论 1．一元多项式的定义及有关概念（理解），零次多项式定义（知道） 2．多项式相等、相加、相乘的定义（理解），多项式运算与次数的关系（了解） 3．多项式的带余除法、整除的定义及基本性质（理解） 4．最大公因式的定义及基本性质（理解），最大公因式的求法（掌握） 5．多项式互质（互素）的定义及其基本性质（理解） 6．不可约多项式的定义及基本性质，多项式因式分解定理（理解），多项式的标准分解式（知道） 7．重因式定义（理解），判别多项式含有重因式及多项式的互质（掌握），利用多项式导数写出标准分解式（会） 8．多项式的根、重根的概念及根与整除的关系（了解） 9．多项式函数的定义，多项式相等与多项式函数相等的一致性（了解） 10．复数域、实数域上多项式标准分解式（知道），判别整系数多项式的有理根及有理系数多项式的可约性（会） 重点：多项式的整除，最大公因式的概念、性质、求法，互素的概念和性质，因式分解定理，复数域和实数域上多项式的因式分解定理，有理系数多项式的有理根的求法 难点：最大公因式的概念，多项式的整除、互素、不可约等概念的区别与联系，因式分解定理的证明 （二）行列式 1．n级排列的定义及有关结论（知道），排列的逆序数（会），判断排列的奇偶性（会） 2．用对角线法则计算2、3阶行列式（熟练掌握） 3．n阶行列式的定义（了解），行列式的性质（理解） 4．利用行列式的有关性质计算行列式（掌握） 5．利用克拉默法则解线性方程组（会） 重点：n阶行列式的定义和计算 难点：n阶行列式的定义和计算 （三）矩阵 1．矩阵的概念（理解），矩阵与行列式的区别（知道） 2．矩阵的加法、数量乘法、乘法、转置矩阵的定义及其算律（理解） 3．可逆矩阵的定义，n阶方阵的行列式，n阶矩阵乘积的行列式定理（理解），可逆阵的判别和性质（掌握） 4．初等变换与初等矩阵的定义及二者的关系（了解），逆矩阵的求法（掌握），初等变换法（掌握） 重点：矩阵的乘法，有关可逆矩阵的结论，逆矩阵的求法，矩阵的初等变换 难点：矩阵的乘法，有关可逆矩阵的结论，逆矩阵的求法，矩阵的初等变换 （四）向量空间 1．向量空间的定义及Pn中向量的运算规则（理解） 2．向量的线性组合，线性表出，线性相关，线性无关的定义及性质（理解），求向量组线性关系的方法（熟练掌握） 3．极大线性无关组的定义（理解），极大线性无关组的求法（掌握） 4．向量组与矩阵的关系及形式转化（理解），向量组的秩与矩阵的秩的定义及二者的关系和求法（理解，掌握） 5．基底和维数，坐标的定义（理解），基底的作用（理解），基变换公式和坐标变换公式（了解） 6．子空间的定义及等价命题（了解），生成子空间的定义及子空间交与和的基底（理解），维数的求法（掌握） 7．线性空间同构的定义及实质（了解） （五）线性方程组 1．线性方程组与矩阵方程、向量方程的形式转化（理解），矩阵的初等行变换不改变线性方程组的解（理解），消元法解线性方程组（掌握） 2．线性方程组有解的判别，解的个数的判别（掌握） 3．齐次线性方程组解的结构理论（理解），求基础解系及通解（会） 4．一般线性方程组解的结构理论（理解），求出其全部解（会） 重点：线性方程组有解判别定理。求齐次线性方程组的基础解系 难点：求齐次线性方程组的基础解系 （六）线性变换 1．线性变换的定义、运算及性质（理解、掌握） 2．线性变换与n阶方阵的一一对应关系及相关性质（理解），线性变换取定之后，空间的基底与矩阵的关系（理解） 3．相似矩阵，相似变换的定义（理解） 4．矩阵的特征根、特征向量的定义及求法（理解，熟练掌握） 5．矩阵对角化的条件及有关结论（理解） 重点：数域P上矩阵可对角化的充要条件以及矩阵的对角化 难点：数域P上矩阵可对角化的充要条件 （七）欧几里得空间 1．内积的定义及性质，向量长度，夹角，距离的定义及计算公式（理解），欧氏空间是特殊的线性空间（知道） 2．向量正交的定义，单位向量的定义（理解），向量单位化的方法（掌握），向量组正交与线性无关的关系（理解） 3．标准正交基的定义及等价命题（理解），标准正交基与一般基的区别（知道） 4．线性无关向量组正交化，单位化的方法（掌握） 5．子