函数求导法则.pptx

第二节函数求导法则直接用定义去求每一个函数的导数是极为复杂和 困难的.利用本节给出的四则运算和复合函数的求导法 则，就能比较方便地求出初等函数的导数.一、 函数和、差、积、商的求导法则二、 反函数求导法则三、 复合函数的求导法则四、 初等函数的导数一、函数和、差、积、商的求导法则定理1设函数u = u(x)及卩=U 3)都在点X处 可导，那么它们的和、差、积、商在X处也可导， u(x)±v(X)在点X处也具有导数，且(1) [u(X)± v (x)]r = u (x)r ± V (x)r；(2) [u (x) v (x)] = u (x)r v (x) + w (x) V (x)〃3v(x)-心)#3) 侦 v2(x)(3)心) v(x)证(3)当x取增量Ax时，函数u (x), u(x)分另U u(x)取得增量△払Av,函数y =— 也取得增量心)▲〃 +△以 u v Aw - w Av△y =---=---------，v +Av v v(v +Av)Am Ava v---u 一故矿=lim荣=lim ——互Ax 愆项 v(v + Av)wf(x)v(x) 一〃 (x)v(x)=------------2---------------?V ⑴ V ，-, 除法求导法则可简单地表示为-=竺丹 〔V丿 V? ? ?乘积求导法则可简单地表示为（）=/卩+时?推论1设（X）在点X处可导，C为常数，则 （C?时=Cur.推论2设八3）, u二口 3），w=w （x）在点x处 均可导，则（uvw）r = UrVW + UVfW + uvw ?依！|1 j =x4 + sinx一ln3,求y 解 yf = (x4y + (sinx)r + (ln3)r=4x3 + cosx ?例2 y = ex(sinx + cosx), 求解 yf = (ex)，(sinx + cosx) + ex(sinx + cosx)，=ex(sinx + cosx) + ex(cosx - sinx) = 2eXcosx.(71z r ￡/ \ COS2x +例3 fM =----:一，求/cos x - sin x22 ? 2AT7 z、 cos x-sm x .臍 j(x) =-----------= cos x + sin xcos x - sin xf(x) = -sinx + cosx,/ 、7C=- sin/ 、71+ COS/ 、71a2J J? ? ?例4 y = 2sinxcosx lnx9 求 y〈解 y = 2 [(sin x)r cos xlnx + sin x(cos x)lnx + sin x cos x(ln x)f]=2[cos xlnx-sin xlnx + sinxcosx—]xsin 2x=2cos2x-lnx +? ? ?例5 y = tanx,求y〈/ ? 、,，/sinx 1y = (tan x)=-----V cos x 丿_ (sin x)r cos x - sin x(cos x)rcos2 %cos x + sin x I 2 =----------=—— =sec x.cos x cos x即(tanx)r = sec2x.这就是正切函数的求导公式. 类似地可求余切函数的求导公式(cotx) = - esc 2x.例6 y = secx,求、-(cos xY cos2x1解矿= (secx) = COSX 丿sinx———=sec x tan 乙 cos x即(secx) = secxtanx.这就是正割函数的求导公式. 类似地可求余割函数的求导公式(cscx)r = -cscxcotx.? ? ?二、反函数的求导公式定理2设函数x =（p?）在区间右上单调、 可导，且贝U它的反函数y=f（x）在对 应区间厶上也单调、可导，且1f(x) =简言之，即反函数的导数等于直接函数导数（不等 于零）的倒数.证任取xelx,给x以增量，由=/ (x)的 单调性可知Ay =/(x +Ar)-/(x)^O,于是Ax Ax△y因为，=/?(》)连续，故［网頌=0,又(y)o0,从而V/f\x)= lim = lim= —?—心-0 A% AX (p(y)Ay? ? ?例7.求函数 的导数.解：贝！J x = siny9CQJ?C，则11用心=何啓cos* gs，类似可求得―/ 1J 1~zxr? ??例8.求函数牙—rc心e的导数。解： ^=arc1x为函数的反函数。类似可求得例9.求函数 的导数。■-(1^^F=-——=—-—= -07 a^lna 职特别当o = e时，(Lo^=^JC小结:三、复合函数的求导法则定理3设函数u-g(x