圆中常用的作辅助线的八种方法.pptx

会计学 1 圆中常用的作辅助线的八种方法 在解决有关圆的计算或证明题时，往往需要 添加辅助线，根据题目特点选择恰当的辅助线至 关重要．圆中常用的辅助线作法有：作半径，巧 用同圆的半径相等；连接圆上两点，巧用同弧所 对的圆周角相等；作直径，巧用直径所对的圆周 角是直角；证切线时“连半径，证垂直”以及 “作垂直，证半径”等． 第1页/共28页 1 方法 作半径，巧用同圆的半径相等 1．如图所示，两正方形彼此相邻，且大正方形ABCD 的顶点A，D在半圆O上，顶点B，C在半圆O的直径 上；小正方形BEFG的顶点F在半圆O上，E点在半 圆O的直径上，点G在大正方形的边AB上．若小正 方形的边长为4 cm， 求该半圆的半径． 第2页/共28页 如图，连接OA，OF. 设OA＝OF＝r cm，AB＝a cm. 在Rt△OAB中，r2＝ ＋a2， 在Rt△OEF中，r2＝42＋ ， ∴ ＋a2＝16＋16＋4a＋ . 解得a1＝8，a2＝－4(舍去)． ∴r2＝ ＋82＝80. ∴r1＝4 ，r2＝－4 (舍去)． 即该半圆的半径为4 cm. 解： 第3页/共28页 在有关圆的计算题中，求角度或边长时，常连接半径构造等腰三角形或直角三角形，利用特殊三角形的性质来解决问题． 第4页/共28页 2 方法 连接圆上两点，巧用同弧所对的圆周角相等 2．如图，圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线 与圆交于D点，DP⊥AC，垂足是P，DH⊥BM， 垂足为H.求证：AP＝BH. 第5页/共28页 如图，连接AD，BD. ∵∠DAC、∠DBC是DC所对的圆周角． ∴∠DAC＝∠DBC. ∵CD平分∠ACM，DP⊥AC，DH⊥CM， ∴DP＝DH. 在△ADP和△BDH中， ∴△ADP≌△BDH. ∴AP＝BH. 证明： ︵ 第6页/共28页 本题通过作辅助线构造圆周角，然后利用“同弧所对的圆周角相等”得到∠DAC＝∠DBC，为证两三角形全等创造了条件． 第7页/共28页 3 作直径，巧用直径所对的圆周角是直角 方法 3．如图，⊙O的半径为R，弦AB，CD互相垂直， 连接AD，BC. (1)求证：AD2＋BC2＝4R2； 第8页/共28页 (1) 如图，过点D作⊙O的直径DE，连接AE，EC，AC. ∵DE是⊙O的直径， ∴∠ECD＝∠EAD＝90°. 又∵CD⊥AB，∴EC∥AB. ∴∠BAC＝∠ACE. ∴BC＝AE. ∴BC＝AE. 在Rt△AED中，AD2＋AE2＝DE2， ∴AD2＋BC2＝4R2. 证明： ︵ ︵ 第9页/共28页 (2)若弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根 (ADBC)，求⊙O的半径及点O到AD的距离． (2)如图，过点O作OF⊥AD于点F. ∵弦AD，BC的长是方程x2－6x＋5＝0的两个根 (ADBC)， ∴AD＝5，BC＝1. 解： 第10页/共28页 由(1)知，AD2＋BC2＝4R2， ∴52＋12＝4R2. ∴R＝ . ∵∠EAD＝90°，OF⊥AD， ∴OF∥EA. 又∵O为DE的中点， ∴OF＝ AE＝ BC＝ . 即点O到AD的距离为 . 第11页/共28页 本题作出直径DE，利用“直径所对的圆周角是直角”构造了两个直角三角形，给解题带来了方便． 第12页/共28页 4 证切线时辅助线作法的应用 方法 4．如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，CD∥AB且 与OA的延长线交于点D. 判断CD与⊙O的位置关 系，并说明理由． 第13页/共28页 CD与⊙O相切，理由如下： 如图，作直径CE，连接AE. ∵CE是直径，∴∠EAC＝90°. ∴∠E＋∠ACE＝90°. ∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB. ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB. ∴∠B＝∠ACD. 又∵∠B＝∠E，∴∠ACD＝∠E. ∴∠ACE＋∠ACD＝90°，即OC⊥DC. 又OC为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切 解： 第14页/共28页 5 遇弦加弦心距或半径 方法 5．如图所示，在半径为5的⊙O中，AB，CD是互相 垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP 的长