第2节方阵的特征值与特征向量.pptx

方阵的特征值和特征向量一、特征值与特征向量的概念说明例1 解例２ 解求A的特征值与特征向量．例３ 设解得基础解系为：　记住:属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．注：特征向量不惟一1、假定 是n阶矩阵 的n个特征值, 则二、特征值、特征向量的性质称为矩阵的迹是任意常数)的特征值是的特征值是是正整数)若 可逆，则 的特征值是的特征值是且 仍然是矩阵的特征值是(f(x)是多项式)分别对应于 的特征向量。　2．若 的特征值是 ， 是 的对应于 的特征向量，则 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于　的特征向量，则再继续施行上述步骤 次，就得证明矩阵 和 的特征值相同。　3．证明4、设 是方阵A的互异特征值 所对应的特征向量,则 是线性无关的. 设有数 使得证：上式左乘A得：以 乘以 式得,由 得：由 得：所以 线性无关.两式相减得：(1) 设 是方阵A的互异特征值 对应的特征向量, 则线性无关(定理5.4).(2)设 是矩阵A的两个不同的特征值, ;分别为A对应于 的线性无关的特征向量,则注：性质的推广(必需记住)注意　１.　属于不同特征值的特征向量是线性无关的．　２.　属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量．　３.　矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．思考题四、思考题1、满足Ax=λx的x一定是A的特征向量.2、如果 是A对应于特征值λ的特征向量,则 也是A对应于λ的特征向量.3、设 是矩阵A的特征值, 是矩阵B的特征值,则是矩阵A+B的特征值.思考题解答1、不一定,如果x≠0,则x是A的一个特征向量.2、不一定,如果 不全为零时,是A对应于λ的特征向量. 3、不一定,如果B是与A相关的矩阵,结论成立.