南华大学《数值分析》课件-第1章引论.ppt

数理学院 SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS 数 值 分析 预备知识 由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法，所以必须掌握这几门课的基本内容才能学好这门课程。 怎样学好“数值分析”课程？提几点意见供参考： 三、及时复习，在复习基础上做给定的习题。 习题要自己先做，不要一上来就看答案。有条件 的还可自己选做书后的计算实习题。  二、要搞清每章要解决什么问题？如何解决？ 搞清各种方法的思想及其数学原理，注重基本概念及基本方法不要死记硬背。 一、要先复习相关的数学基础. 提问：数值分析是做什么用的？ 数值分析 输入复杂问题或运算 ? ? ? ? 计算机 近似解 第一章 引论 §1.1数值分析 研究对象与特点 一、研究对象 数值分析也称计算方法，它根据实际问题的数学模型提出 求解问题的数值计算方法。 三、实际应用 利用MATLAB等软件在计算机上实现数值计算，解决实际问题。 二、学科特点 1.面向计算机，提供切实可行的有效算法； 2.有可靠理论，对算法进行误差分析，并能达到精度要求； 3.算法能在计算机上实现，并有好的计算复杂性； 4.通过数值实验证明算法行之有效 §1.2 数值计算的误差 /* Introduction */ 1.2.1 来源与分类 /* Source Classification */ 从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 /* Modeling Error */ 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 /* Measurement Error */ 求近似解 —— 方法误差 (截断误差 /* Truncation Error */ ) 机器字长有限 —— 舍入误差 /* Roundoff Error */ 解法一：将 作Taylor展开后再积分 S4 R4 /* Remainder */ 取 则 称为截断误差 /* Truncation Error */ | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | = 0.747… … 由截去部分 /* excluded terms */ 引起 由留下部分 /* included terms */ 引起 1.2.2 误差与有效数字 /* Error and Significant Digits */ ? 绝对误差 /* absolute error */ 其中x为准确值，x*为x的近似值。 ，例如： 工程上常记为 ，称为绝对误差限 /* accuracy */， 的上限记为 注：e* 理论上讲是唯一确定的，可能取正，也可能取负。 e* 0 不唯一，当然 e* 越小越具有参考价值。 注： e* 可正可负，当绝对误差为正时近似值偏大，叫强近似值；当绝对误差为负时，近似值偏小，叫弱近似值。 通常准确值x是不知道的，所以误差e* 的准确值也不可能求 出，但根据具体情况，可事先估计出误差的范围。 ? 相对误差 /* relative error */ x 的相对误差限 /* relative accuracy */ 定义为 A mathematician, a physicist, and an engineer were traveling through Scotland when they saw a black sheep through the window of the train. Aha, says the engineer, I see that Scottish sheep are black. Hmm, says the physicist, You mean that some Scottish sheep are black. No, says the mathematician, All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black! 注： 严格的说法是， 与 是否反映了同一数量级的误差？ 关于此问题的详细讨论可见教材第5页。 当准确值x有多位数时，常常按四舍五入的原则得到x的前 几位近似值x*，例如 x=л=3 取3位 取5位 它们的误差都不超过末位数字的半个单位,即 ?有效数字 /* significant d