小升初+奥数--牛吃草.docVIP

教学课题 奥数—牛吃草 知识点 解答牛吃草问题，困难在于草的总量在变，每天或每周都在均匀地生长，时间越长，草的总量越多。草的总量有两部分组成： eq \o\ac(○,1)草场上原有的草量； eq \o\ac(○,2)一段时间内新增的草量。“牛吃草”问题主要有两种类型： eq \o\ac(○,1)求时间； eq \o\ac(○,2)求头数。除了总结这两种类型问题相应的解答方法，在实践中要培养运用“牛吃草问题”的解题思想解答实际问题的能力。 “牛吃草”问题是著名的英国数学家、物理学家牛顿（1642—1721）的数学著作《广义算术》中的一个问题。有书记载，这个问题原载于牛顿的前辈，英国数学家沃利斯（1616—1703）的数学著作中，后经牛顿的修改，将该问题一般化，载于他的著作中。 例1 牧场上有一片青草，每天均匀生长，这片青草可供27头牛吃6天，可供23头牛吃9天，如果饲养21头牛多少天可以把牧场上的草吃完？ 分析： 我们可以把1头牛1天的吃草量看作“1个单位”，由题中“27头牛吃6天”和“23头牛吃9天”知道，这两次的总量分别为： 27×6=162（单位） 23×9=207（单位） 为什么两次得到的总量会不一样呢？不是因为牛的头数不同，而是由于第二次的草量207比第一次162多的量正好是9－6=3天长出来的，由此就可以算出青草每天的生长量： （207－162）÷（9－6）=15（单位） 15个单位也可看作15头牛一天的吃草量，即每天生长的草可以满足15头牛来吃，于是我们可以把每天吃草的牛分成两组，一组是抽出15头牛来吃当天新生的草；另一组是其余的牛去吃牧场里面的草。当原有草吃完，所有的青草就吃完了。 那么，牛开始吃草以前，牧场原有草是多少呢？ 在第一次吃法，总量是162，其中包括新生草和原有草，我们已知每天新生草量为15单位，6天的新生草就有15×6=90单位，这样原有草就有162－90=72单位。21头牛中的15头专门吃每天的新生草，剩余的21－15=6头牛吃原有草72个单位。72÷6=12天就能吃完，问题也就解决。 解： 假设把1头牛1天的吃草量看作“1个单位” 27×6=162（单位） 23×9=207（单位） （207－162）÷（9－6）=15（单位）……生长量 27×6－15×6=72（单位）……原有草 72÷（21－15）=12（天） 答： 如果饲养21头牛12天可以把牧场上的草吃完。 练一练：牧场上有一片青草，每天均匀生长，这片青草可供24头牛吃6天，或供20头牛吃10天，牧场上每天生长的草可供多少头牛吃1天？ 例2 有一片牧场上的草均匀生长，如果4只羊吃草，15天可以把草吃完，如果8只羊吃草，7天可以把草吃完；若想5天把草吃完，需要多少只羊去吃？ 分析： 与例1相比，条件基本相同，只是所求问题不同——求只数。按例1的思路，先求出生长量与原有草。接下来的思路与例1不同：用原有草加5天的生长量，这就是若干只羊5天的吃草量，两者的商，就是平均每天吃掉的草量。由于假设1只羊1天吃1个单位的量，由每天吃掉的草量可求出羊的只数。 解： 假设把1只羊1天的吃草量看作“1个单位” （4×15－8×7）÷（15－7）=0.5（单位）……生长量 60－0.5×15=52.5（单位）……原有草 （52.5＋0.5×5）÷5=11（只） 答： 若想5天把草吃完，需要11只羊去吃。 练一练：有一片草地，可供24只羊吃6天，或供21只羊吃8天，假设草每天均匀生长，要使这片牧草永远吃不完，至多放多少头羊吃这片牧草？ 例3 有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天，假设草每天均匀生长，现在羊若干只，吃了4天又增加6只，这样又吃了2天便把草吃完，原有羊多少只？ 分析： 本题同样应先将生长量和原有草求出来。将问题转化为：若不增加6只羊，原有的若干只羊吃4＋2=6天的草量，相当于原有草量加6天里新生长的草量，再减去6只羊两天吃的草量。用原有羊吃的草量除以天数，即可求出原有羊的只数。 解： （8×20－14×10）÷（20－10）=2（单位）……生长量 8×20－2×20=120（单位）……原有草 [120＋2×（4＋2）－6×2]÷（4＋2）=20（只） 答： 原有羊20只。 例4 一块草地，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16头牛吃20天，或供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天？ 分析： 根据1头牛