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5、样本阶中心矩 (9) 它的观测值记为 (10) 显然,样本一阶中心矩恒等于零。 当样本容量 较大时,相同的样本观测值 往 往可能重复出现,为了使计算简化, 应先把所得的数据整理,设得到下表: 第三十页,共七十页。 观测值 … 总计 频数 … 其中 . 于是样本均值 ,样本方差 样本二阶中心矩 可以分别按下列公式计算: (1) (2) (3) 第三十一页,共七十页。 若总体 的 阶矩 存在 独立且与 同分布。故有 与样本二阶中心矩 显然,当样本容量 充分大时,样本方差 是近似相等的 则当 时 独立且与 同分布 ,所以 因为 第三十二页,共七十页。 进而由第五章中关于依概率收敛的序列的性质知道 其中 为连续函数,这就是下一章所要介绍的矩估计法的理论根据。 从而由第五章的大数定理知 第三十三页,共七十页。 习题6-3 1.从某工人生产的铆钉中随机抽取5只,测得其直径分别为(单位:毫米): 13.7 13.08 13.11 13.11 13.13 (1)写出总体、样本、样本值、样本容量 (2)求样本观测值的均值、方差。 2.设抽样得到样本观测值为 38.2 40.2 42.4 37.6 39.2 41.0 44.0 43.2 38.8 40.6 计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二 阶中心矩。 第三十四页,共七十页。 3.设抽样得到100个样本观测值如下: 观测值 1 2 3 4 5 6 频数 15 21 25 20 12 7 计算样本均值、样本方差与样本二阶中心 矩。 4.设 , 为 的样本均值与样本方差作数据变换: 设 , 为 的样本均值与样本方差, 证明(1) (2) 第三十五页,共七十页。 5.从总体中抽取两组样本,其容量分别为 及 , 设两组的样本均值分别为 及 样本方差分别为 及 把这两组样本合并为一组容量为 的联合 样本,证明: (1)联合样本的样本均值 (2)联合样本的样本方差 第三十六页,共七十页。 第四节 抽样分布 统计量的分布称为抽样分布。 在使用统计量进行统计推断时常需知道它的分布。 当总体的分布函数已知时,抽样分布是确定的,然而要求出统计量的精确分布,一般来说是困难的。 本节介绍来自正态总体的几个常用统计量的分布。 今后,我们将看到这些分布在数理统计中有重要的应用。 第三十七页,共七十页。 一、三个重要分布 为了讨论正态总体下的抽样分布,先引入由正态 分布导出的统计中的三个重要分布,即 分布,分布,分布。 1、 分布 设 是来自总体 的样本,则称统计量 (1) 服从自由度为 的 分布, 记为 第三十八页,共七十页。 此处,自由度是指(1)式右端包含独立变量个数 分布的概率密度为 的图形如图6-3所示。 (2) 第三十九页,共七十页。 图6-3 第四十页,共七十页。 此结论可推广:设 且相互 独立 分布的可加性 设 , 并且 独立,则 (证明略) 则 第四十一页,共七十页。 若 ,则有 分布的数学期望和方差 因 故 因此 又 所以 也相互独立 由于 相互独立 于是 第四十二页,共七十页。 则
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