专题07 经典超越不等式（解析版）-【二级结论速解】备战2022年高考数学必备考试技能高分领先方案.docx

专题07 经典超越不等式 一、结论 (1)对数形式:,当且仅当时,等号成立. (2)指数形式:,当且仅当时,等号成立. 进一步可得到一组不等式链：（且） 上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数： ； ； 截取片段： ，当且仅当时,等号成立； 进而：当且仅当时,等号成立 二、典型例题 1．（2022·江苏苏州·高三期末）已知 则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 取，则，故A选项错误； 取，，，则B选项错误； 取，，则，，即， 故D选项错误； 关于C选项，先证明一个不等式：，令，， 于是时，递增；时，递减； 所以时，有极小值，也是最小值， 于是，当且仅当取得等号， 由，当时，同时取对数可得，， 再用替换，得到，当且仅当取得等号， 由于，得到，，，即， C选项正确. 故选：C. 【反思】对于指数形式:,当且仅当时,等号成立，该不等式是可以变形使用的： 注意使用时的取值范围； 同样的还可以如下处理：两边同时取对数：，同样可以变形使用： ； 注意使用时的取值范围. 2．（2021·安徽·高三阶段练习（文））已知函数. (1)若对，都有，求实数a的取值范围； (2)若a、，且，求证：对任意，都有：. 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】 (1)由时： 又：, ①若时，由，故， 所以对任意，都有： 此时函数在上单调递增，故对任意，都有：满足条件. ②若时，由，故： 故可得： x - 0 + 极小值 故函数在上单调递减，在上单调递增, 故：不满足条件，都有, 综上，实数a的取值范围为. (2)由（1）可知，当时，对任意，都有：, 故对任意，都有：, 又a、，故对任意，都有：， 又，故： 故对任意，都有：. 【反思】注意在解答题中不能直接使用，需要证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式. 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1．（2022·广东韶关·一模）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：当，又，所以，故 记，所以， 令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增. 所以，即，当时取等号. 所以， 所以. 故选：C. 2．（2022·山西运城·（理））已知命题：，；命题：，则下列命题中为真命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 令且定义域为，则， 所以上，递增；上，递减； 所以，即，又，恒成立， 所以命题p为假命题，命题q为真命题，则为真命题，为假命题， 故为真，、、为假. 故选：A. 3．（2021·广东肇庆·）下列不等式中，不恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对于A：令， ， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以， 所以，故A正确； 对于B：令， ， 所以在上，，单调递减， 在，上，，单调递增， 所以， 所以， 所以，，故B正确； 对于C：令， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以（1）， 所以， 所以， 所以，故C正确； 对于D：取，得，故D错误， 故选：D 4．（2021·安徽·东至县第二中学（理））下列不等式正确的个数有（ ）个. ①；②；③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】 对于①，令，，则在上递减，在上递增，， ，即，①正确； 由知，恒成立，则有，即成立，②正确； 对于③，令，，即在上单调递减， 而，则， 所以有，③正确. 故选：D 5．（2020·黑龙江哈尔滨·（理））下列四个命题中的假命题为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】 构造函数，，所以在区间上，递减，在区间上，递增，所以在处取得极小值也即是最小值，所以，即在上恒成立，将改为，则有在上恒成立.所以AB选项为真命题. 当时，，，此时，所以D选项为真命题. 构造函数（），，所以在区间上，递增，在区间上，递减，所以在处取得极大值也即是最大值，所以，即在上恒成立.所以C选项为假命题. 故选：C 6．（2019·湖北·（文））下列不等式中正确的是 ①；②；③. A．①③ B．①②③ C．② D．①② 【答案】B 【详解】 对于①：令，则恒成立， 则是减函数，所以有恒成立， 所以成立，所以①正确； 对于②：，令，， 当时，，当时，， 所以函数在上是减函数，在上是增函数， 所以在处取得最小值，所以， 所以成立，所以②正确； 对于③，，，令，有， 所以有当时，，当时，， 所以函数在时取得最大值，即， 所以，恒成立，所以③正确； 所以正确命题的序号是①②③， 故选B. 7．（2020·全国·（理））已知命题：，，命题：，，则下列命题正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】