专题05 函数周期性问题（解析版）-【二级结论速解】备战2022年高考数学必备考试技能高分领先方案.docx

专题05 函数周期性问题 一、结论 已知定义在上的函数,若对任意,总存在非零常数,使得,则称是周期函数,为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期 (2)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (3)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (4)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (5)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. (6)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期. 二、典型例题 1．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 解法二：因为函数为偶函数，所以其图象关于对称，则函数的图象关于直线对称；所以； 又函数为奇函数，所以其关于对称； 通过图象平移伸缩变换，可以得到关于对称，进而关于对称； 可得：；综合（1）（2）可得；利用结论的周期为,故本题中的周期为 利用可得 【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期. 对称性问题： ①轴对称问题：关于对称，可得到如下结论中任意一个：； ②点对称问题：关于对称，可得到如下结论中任意一个：； 2．（2021·全国·高考真题（理））设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 因为是奇函数，所以图象关于对称，所以关于对称，得： 因为是偶函数，所以图象关于对称； ，所以关于对称，得： ；综合（1）（2）得到： 得到 所以，再利用令代入： 故选：D． 【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期. 三、针对训练 举一反三 1．（2008·湖北·高考真题（文））已知在R上是奇函数，且，当时，，则 A．-2 B．2 C．-98 D．98 【答案】A 【详解】 ∵，∴是以4为周期的周期函数，由于为奇函数， ∴，而，即. 故选：A． 2．（2021·全国·模拟预测（文））已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 依题意对，有成立， 令，则， 所以，故， 所以是周期为的周期函数， 故. 故选：C 3．（2021·江西·三模（理））已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数， 因为， 故函数的周期为4，则； 而，所以由可得； 而， 解得. 故选：C. 4．（2021·四川·石室中学模拟预测（理））已知定义域为R的奇函数满足，当时，，则函数在上零点的个数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】 解：因为是定义域为R的奇函数，所以． 因为，令，得， 即，所以． 又因为为奇函数，所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数． 根据周期性及奇函数的性质画出函数在上的图象，如图． 由图可知，函数在上有零点-4，-3.5，-3，-2，-1，-0.5，0，0.5，1，2，3，3.5，4，共13个零点． 故选：D 5．（2021·广西玉林·模拟预测（文））已知定义在上的偶函数满足，且当，，则下面结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由，知是周期函数，且周期为6， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， 易知在内单调递增， 所以. 故选：A． 6．（2021·黑龙江·佳木斯一中三模（理））已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】 解：因为为奇函数，即， 因为对任意，， 所以， 当时，， 所以， 所以，则. 故选：C. 7．（2021·浙江·瑞安中学模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】 由可得关于对称， 由函数是定义在R上的奇函数， 所以， 所以的周期为4， 把函数的零点问题即的解， 即函数和的图像交点问题， 根据的性质可得如图所得图形，结合的图像， 由图像可得共有3个交点，故共有3个零点， 故选：B. 8．（2021