专题08三点共线充要条件（原卷版）-【二级结论速解】备战2022年高考数学必备考试技能高分领先方案.docx

专题08三点共线充要条件 一、结论 1、设平面上三点,,不共线,则平面上任意一点与,共线的充要条件是存在实数与 ,使得,且.特别地,当为线段的中点时,. 二、典型例题 1．（2021·安徽·铜陵一中高三阶段练习（理））如图，中，为上靠近的三等分点，点在线段上，设，，，则的最小值为（ ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【解析】 由于为上靠近的三等分点， 故 , 所以, 又因为点在线段上，所以 ， 故， 由题意可知 ，故， 当且仅当时，即 时，等号取得， 故选：D. 【反思】本题重点,,三点共线，可以得到且，所以本题中中的如何化简成才是本题的关键，又为上靠近的三等分点，故 ,所以得到这样，由,,三点共线，得到，进而才利用均值不等式求解最值.如何利用三点共线时解本题的快速捷径. 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1．（2020·安徽·安庆市第二中学高一阶段练习）如图，在三角形OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 3．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，设，则（ ） A． B． C． D． 4．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）.如图，在中，，是线段上一点，若，则实数的值为（ ） A． B． C．2 D． 5．（2022·全国·高三专题练习），，是圆上不同的三点，线段与线段交于点(点与点不重合)，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（2021·四川成都·高三期中（文））如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与点C不重合，设，，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 7．（2021·山西大附中高三阶段练习（文））如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，，则的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2021·福建省长汀县第一中学高三阶段练习）如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2021·湖南·周南中学高二开学考试）在中，为上一点，，为上任一点，，，（，），若，则当取最小值时，四边形的面积与的面积之比等于________． 10．（2021·黑龙江·大庆中学高一阶段练习）如图，经过的重心G的直线与分别交于点，，设，，则的值为________． 三、解答题 11．（2021·全国·高一课时练习）如图，在中，，，与相交于点M，设，， （1）试用，表示向量： （2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，，求证：．