专题13 焦点三角形的面积公式（解析版）【二级结论速解】备战2022年高考数学必备考试技能高分领先方案.docx

专题13 焦点三角形的面积公式 一、结论 1、椭圆中焦点三角形面积公式 在椭圆()中,,分别为左、右焦点,为椭圆上一点,,的面积记为，则： ① ② ③,其中. 2、双曲线中焦点三角形面积公式 在双曲线(,)中,,分别为左、右焦点,为双曲线上一点,，的面积记为，则： ① ② ③ 注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定 理，基本不等式等综合应用. 二、典型例题 1．（2022·湖北·天门市教育科学研究院高二期末）已知、是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由椭圆的方程可得，，，则， 因为，则， 即，即，解得， 因此，. 故选：D. 另解：根据焦点三角形面积公式，求,其中，由题意知，，代入 【反思】焦点三角形问题，常规方法往往涉及到圆锥曲线的定义，利用定义，余弦定理求解，特别提醒，在圆锥曲线中，定义是解题的重要工具.另外作为二级结论，要特别注意记忆表示的是哪个角. 2．（2022·吉林吉林·高三期末（理））已知P是椭圆上一动点，，是椭圆的左、右焦点，当时，；当线段的中点落到y轴上时，，则点P运动过程中，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 设. 在中，当时，由椭圆的定义，余弦定理得： 整理得： 由三角形的面积公式得：，解得：. 因为线段的中点落到y轴上，又O为的中点，所以轴，即. 由，得，解得：，所以， 代入椭圆标准方程得：. 又有，解得：，所以椭圆标准方程为：. 所以. 因为，所以. 所以. 因为， 当时，， 所以. 故选：A. 另解：根据焦点三角形面积公式，求,其中，由题意知，代入公式，又当线段的中点落到y轴上时，，可知，从而有，，且，进一步有：所以椭圆标准方程为：. 所以. 因为，所以. 所以. 因为， 当时，， 所以. 故选：A. 【反思】解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路： ①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值； ②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值. 3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于，两点，以线段为直径的圆恰好过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】 解：设双曲线的左焦点为，连接，， 因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点， 所以，圆心为，半径为， 根据双曲线的对称性可得四边形是矩形，设，， 则，由可得， 所以，所以，所以. 故选：B. 另解：解：设双曲线的左焦点为，连接，， 因为以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点， 所以，且,根据双曲线焦点三角形面积公式：得：，结合，得. 【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式. 4．(多选）（2022·广东·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，点双曲线C右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（???????） A．若，则S＝ B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若的重心为G，随着点P的运动，点G的轨迹方程为 【答案】ACD 【详解】 由，得，则 焦点三角形的面积公式，将代入可知，故A正确． 当S＝4时，，由，可得，故 B错误． 当时，S＝4，当时，，因为为锐角三角形，所以，故C正确． 设，则，由题设知，则，所以，故D正确． 故选：ACD 【反思】在双曲线中，涉及焦点三角形，优先联想到定义，即,结合余弦定理求解，对于适合利用焦点三角形公式的题目，可直接利用公式. 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1．（2022·福建漳州·高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（???????） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 在椭圆中，，，则，所以，， 由椭圆的定义可得， 取的中点，因为，则， 由勾股定理可得， 所以，. 故选：B. 2．（2022·福建南平·高二期末）椭圆两焦点分别为，，动点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则此椭圆上使得为直角的点有（???????） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】 解：因为的面积的最大值时，点P在短轴的顶点处，所以，即， 又，所以，所以，则，所以，所以此椭圆上使得为直角的点有个， 故选：A. 3．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（???????） A．48 B．40 C．28 D．24 【答案】D 【详解】 椭圆C：的半焦距，长半轴长，由椭圆定义得， 而，且，则有是直角三角形，， 所以的面积为24. 故选：D 4．（2