专题12 多面体的外接球和内切球（解析版）-【二级结论速解】备战2022年高考数学必备考试技能高分领先方案 - 副本.docx

专题12 多面体的外接球和内切球 一、结论 1．球与多面体的接、切 定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。 定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。 类型一 球的内切问题（等体积法） 例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下： 即：，可求出. 类型二 球的外接问题 1、公式法 正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点 2、补形法（补长方体或正方体） ①墙角模型（三条线两个垂直） 题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图） ②对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，） 3、单面定球心法（定+算） 步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）； ②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上； ③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径. 4、双面定球心法（两次单面定球心） 如图：在三棱锥中： ①选定底面，定外接圆圆心 ②选定面，定外接圆圆心 ③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心. 二、典型例题 1．（2022·山西吕梁·一模（文））在《九章算术·商功》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图在鳖臑中，平面，，，则鳖臑内切球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 解：因为四面体四个面都为直角三角形，平面，，所以，，，，设四面体内切球的球心为，则， 所以， 因为四面体的表面积为， 又因为四面体的体积， 所以，所以， 故选：B 【反思】本例中涉及到求内切球问题，典型的等体积法. 2．（2021·四川省南充高级中学高二期中（文））在三棱锥P－ABC中，，，两两垂直，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 将三棱锥P－ABC补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R，则，所以球的表面积为． 故选：D． 【反思】由题意，，两两垂直，可直接用补形法，补成长方体，利用长方体求外接球. 3．（2021·全国·高一课时练习）已知三棱锥，在底面中，，，面，，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 设的外接圆半径为R，因为，，由正弦定理得：，所以的外接圆半径为1，设的外接圆圆心为，过点做的平行线，则球心一定在该直线上，设为，因为面，，由于，故，由勾股定理得：，即此三棱锥的外接球的半径为2，故外接球表面积为. 故选：D 【反思】此题典型的单面定球心求外接球的问题，先确定的外接圆圆心，再过做的平行线，则可确定球心在该直线上，进而通过计算求出外接球半径. 4.三棱锥中，平面平面，和均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 . 【解析】:由于是正三角形，并且边长为2，所以的外接圆圆心为,则,,同理可得的外接圆圆心为，可得到，,分别过做面的垂线，过做面的垂线交于，因为平面平面，所以四边形为正方形，且,利用勾股定理：，所以. 【反思】此题典型的双面定球心，由于选定的面，都是正三角形，故其外心都是中心，如果是普通三角形，可以采用正弦定理定外心. 三、针对训练 举一反三 一、单选题 1．（2021·湖北黄冈·高一期末）若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 如下图组合体的轴截面，设圆锥半径为，圆锥高为，则，，，由得,代入得①， 由“该圆锥体积是球体积两倍”可知，即②，联立两式得. 故选:B 2．（2021·青海·海南藏族自治州高级中学高三开学考试（理））如图正四棱柱中，底面面积为36，的面积为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设正四棱柱的高为， 因为正方形的面积为36，所以， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，, 因为的面积为， 所以，解得， 依题意，三棱锥的外接球即为正四棱柱的外接球， 其半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积为． 故选：C． 3．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体中，平面，，，且，则四面体的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 解：如图所示： 在中，， 又且， 故解得：， 由余弦定理得：， 即， 故， 设的外接圆半径为， 则， 设的外接