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西南财经大学省级精品课程《经济管理数学分析》课题组版权所有请勿外传经济管理数学分析 第十一章反常积分§3 瑕积分的性质及收敛判别第十一章反常积分§3瑕积分的性质及收敛判别*无穷积分与瑕积分之间的关系(补充)例如，区间(a,b]的左端点 a 是被积函数 f(x) 的瑕点的瑕积分利用换元积分法，设即第十一章反常积分§3瑕积分的性质及收敛判别一 瑕积分的性质柯西准则(定理11.5,P283)瑕积分 充要条件是：任给只要便有 性质1(P283) 设函数f1与f2的瑕点同为 x = a , k1、k2为常数，则当瑕积分都收敛时，瑕积分也收敛，并有：第十一章反常积分§3瑕积分的性质及收敛判别性质2(P283) 若 f 的瑕点为 x = a，c∈(a,b)为任一常数. 则瑕积同敛态，且有与 性质3(P283) 若 f 的瑕点为 x = a， f 在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可积，则当收敛时，亦收敛，并有同无穷积分一样，当收敛时，称为绝对为条件收敛.收敛，称收敛而不绝对收敛的瑕积分注 绝对收敛的瑕积分，它本身也一定收敛.但逆命题一般不成立.第十一章反常积分§3瑕积分的性质及收敛判别二比较判别法比较法则(定理11.6,P284)设定义在(a,b]上的两个函数 f 与 g，瑕点同为 x = a，在任何[u,b] (a,b]上都可积，且满足：则(1)当收敛时，必定收敛;(2)当发散时，必定发散.推论1 (比较法则的极限形式,P284)若f(x)≥0， g(x)0，且则有：(i)当 0 c +∞时，与同敛态；(ii)当c =0时，由收敛可推知也收敛；(iii)当c = +∞时，由发散可推知也发散.第十一章反常积分§3瑕积分的性质及收敛判别注(1)推论中，当 c = 0时只能判别收敛；当c为正无穷大时只能判别发散；(2)用此推论时要找分母的g(x)且(3)找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数.推论2 (柯西判别法,P283)设 f 定义于(a,b] , a为瑕点，且在任何[u,b] (a,b]上可积，则有：(i)当且 0 q 1 时,(ii)当且 q ≥ 1 时,第十一章反常积分§3瑕积分的性质及收敛判别推论3(柯西判别法的极限形式,P283) 设 f 定义于(a,b]上的非负函数，a为瑕点，且在任何[u,b](a,b]上可积，且则有：(i)当时，收敛；时，发散.(ii)当注(1)实际应用中，常用推论3；(2)用推论3时要找 q，使同时满足 q 及(3)找 q 的时候最好使极限是一个非0的常数.第十一章反常积分§3瑕积分的性质及收敛判别例1(P285)讨论下列瑕积分的收敛性：所以它们的解瑕积分收敛与绝对收敛是一样的.(1)此瑕积分的瑕点为 x = 0.第十一章反常积分§3瑕积分的性质及收敛判别(2)此瑕积分的瑕点为 x = 1.定理11.7(狄利克雷判别法,P284)定理11.8(阿贝尔判别法,P285)第十一章反常积分§3瑕积分的性质及收敛判别例2(P285) 讨论反常积分的收敛性.解 把反常积分写成：(1)先讨论，当即时它是定积分;当时它是瑕积分，瑕点为x = 0.由于根据定理11.6推论3(P284)知,当即且时，瑕积分收敛；且时，瑕积分发散.即当第十一章反常积分§3瑕积分的性质及收敛判别(2)再讨论,它是无穷积分.由于根据定理11.2推论3(P279)知,当即且时，收敛；而当即且时，发散.综上所述，把讨论结果列如下表： 发散 收敛 定积分 收敛 收敛 发散 发散收敛发散由此可见，反常积分只有当时才是收敛的.第十一章反常积分§3瑕积分的性质及收敛判别习题：P286 §3习题1-4 P287总练习题1-3