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专题解析几何
抛物线
答案部分
p
1.D解析由题意可得:3pp
2
2
,解得p8.应选D.
2.解析(I)由抛物线C:x2
2py经过点
2,
1
,得p2.
所以抛物线C的方程为x2
4y,其准线方程为
y
1.
3.解析设直线l:y
3x
t,Ax1,y1,B
x2,y2
.
2
(1)由题设得
F
3
,0,故|AF|
|BF|
x1
3
x1x2
5
4
x2
,由题设可得
.
2
2
y
3x
t
2
12(t1)x4t
2
0
,则x1
12(t
1)
由
2
,可得9x
x2
.
y2
3x
9
进而
12(t1)
5
7
3
7
9
,得t
.所以l的方程为y
x.
2
8
2
8
uuur
uur
(2)由AP
3PB可得y1
3y2.
3
t,可得y2
由
y
2x
2y
2t
0.
y2
3x
所以y1
y2
2.进而3y2
y2
2,故y2
1,y1
3.
代入C的方程得x1
3,x2
1
.故|AB|
4
13
.
3
3
4.解析(1)设Dt,
1
,Ax1,y1,则x12
2y1.
2
由于y
y1
1
,整理得2tx12y1+1=0.
2
x,所以切线DA的斜率为x1,故
x1
t
x1
设Bx2,y2,同理可得2tx22y2+1=0.
故直线AB的方程为2tx2y10.
1
所以直线AB过定点(0,).
2
(2)由(1)得直线AB的方程为y
tx
1
.
2
ytx
1
2,可得x2
由
2
2tx
1
0.
x
y
2
于是x1
x2
2t,
x1x2
1,
y1
y2
tx1
x2
1
2t2
1,
|AB|
1t2x1
x2
1t2
x1
x2
2
4x1x2
2t2
1.
设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,则d1
t2
1,
d2
2
.
t2
1
因此,四边形ADBE的面积S
1|AB|
d1
d2
t2
3
t2
1.
2
设M为线段AB的中点,则M
t,t2
1
.
2
uuuur
uuur
uuuur
t,t
2
uuur
与向量(1,t)平行,所以
tt
2
2t0.解得
由于EM
AB,而EM
2,AB
t=0或t
1.
当t=0时,S=3;当t
1时,S42.
因此,四边形ADBE的面积为3或42.
2010-2018年
1.D【解析】通解
过点(
2,0)
且斜率为
2的直线的方程为
y
2
(x
2),
3
3
y
2
(x
2),得x2
x
1
x
4
由
3
5x
40,解得x
1或x
4,所以
,或
,
y
2
y
4
y2
4x
不妨设M(1,2),N(4,4)
uuuur
uuur
(3,4)
,易知F(1,0),所以FM
(0,2),FN
,所以
uuuur
uuur
8.应选D.
FM
FN
过点(
2,0)
2
y
2
2),由
y
2(x
2)
优解
且斜率为
的直线的方程为
(x
3
,得
3
3
y2
4x
x2
5x
4
0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y10,y2
0,根据根与系数的关
uuuur
uuur
系,得x1
x2
5,x1x2
4.易知F(1,0),所以FM
(x1
1,y1),FN
(x2
1,y2),
uuuur
uuur
所以FMFN(x11)(x21)y1y2
x1x2
(x1
x2)14x1x2
4
5
1
8
8.应选D.
2A
l1
垂直于x
轴是不切合题意,所以
l1
的斜率存在设为
k1
,
l2
的斜率为
k2
,
.【解析】由已知
由题意有k1k2
1,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),E(x4,y4)
此时直线l1方程为y
k1(x
1),
取方程
y2
4x
1)
,得k12x2
2k12x
4x
k12
0,
y
k1(x
∴x1x2
2k12
4
2k12
4
k12
k12
同理得
x3
x4
2k22
4
k22
由抛物线定义可知
|AB|
|DE|x1
x2x3
x4
2p
2k12
4
2k22
4
4
4
4
8≥2
16
8
16
k12
k22
k12
k22
k12k22
当且仅当k1
k2
1(或
1)时,取得等号.
3.C【解析】设P2pt2
,2pt
,M
x,y
uuur
2
p,2pt,
(不妨设t0),则FP2pt
2
uuuur
1uuur
x
p
2pt2
p,
x
2pt2
p,
2
3
6
,∴
3
3
∵FM
FP,∴
2pt,
2pt,
3
y
y
3
3
∴kOM
2t
1
1
2
2t2
1
t
1
1
2
2
2t
2
∴(kOM)max
2
,应选C.
2
4B
【解析】由题意,不妨设抛物线方程为
y
2
2px(p
0)
,由
|AB|4
2,
.
|DE|
25
,可取A(4,2
2),D(
p
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