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专题
解析几何
直线与圆
答案部分
1.解析由直线l的参数方程消去t,可得其普通方程为
4x
3y2
0.
则点(1,0)到直线l的距离是d
4
1
3
02
6.应选D.
2
2
5
4
3
2.解析解法一:由y
x
4(x
0),得y
1
4
,
x
x2
设斜率为
1的直线与曲线y
x
4
(x
0)切于(x0,x0
4),
x
x0
4
1,解得x0
2(x0
0).
由1
x02
所以曲线y
x
4(x
0)上,点P(
2,3
2)到直线x
y0的距离最小,
x
最小值为|
2
3
2|
4.
2
解法二:由题意可设点
P的坐标为
x,x
4
x
0,则点P到直线x
y0的距离
x
xx
4
2
x
2
x
x
2
2
d
2
2
x
4,当且仅当x
2等号成立,
2
2
2
x
所以点P到直线x
y
0
的距离的最小值为
4.
3.解析解法一:
(1)过A作AE
BD,垂足为E.
由已知条件得,四边形
ACDE为矩形,DE
BE
AC
6,AECD
8.
因为PB⊥AB,
所以cosPBD
sin
8
4
.
ABE
5
BD
12
10
所以PB
15.
cos
PBD
4
5
因此道路PB的长为15(百米).
2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不知足规划要求.
②若Q在D处,联络AD,由(1)知ADAE2ED210,
AD2
AB2
BD2
7
,所以∠BAD为锐角.
进而cosBAD
0
2ADAB
25
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此,Q选在D处也不知足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先议论点P的地点.
当∠OBP90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不切合规划要求;
当∠OBP≥90时°,对线段PB上随意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P切合规划要求.
设P1为l上一点,且
PB1AB,由(1)知,P1B=15,
此时PD
PBsin
PBD
PBcos
EBA
1539;
1
1
1
1
5
当∠OBP90°时,在△PPB1
中,PB
PB1
15.
由上可知,d≥15.
再议论点Q的地点.
由(2)知,要使得
QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能切合规划要求
.当QA=15时,
CQ
QA2
AC2
152
62
3
21.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆
O的半径.
综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离
PQ=PD+CD+CQ=17+321.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+321(百米).
解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.
以O为坐标原点,直线OH为y轴,成立平面直角坐标系.
因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为
3,-3.
因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.
进而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为3
.
4
4
因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为
,
3
直线PB的方程为y
4x
25.
3
3
所以P(-13,9),PB
(134)2
(93)2
15.
因此道路PB的长为15(百米).
2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不知足规划要求.
②若Q在D处,联络AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),
所以线段AD:y
3x6(4剟x4).
4
在线段AD上取点M(3,15),因为OM
3215
2
32
42
5,
4
4
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不知足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先议论点P的地点.
当∠OBP90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不切合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上随意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不
小于圆O的半径,点P切合规划要求.
设P为l上一点,且PBAB,由(1)知,PB=15,此时P(-13,9);
1111
当∠OBP90°时,在△PPB中,PBPB15.
11
由上可知,d≥15.
再议论点Q的地点.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能切合规划要求.当QA=15时,设Q
(a,9),由AQ(a4)2(93)215(a4),得a=4321,所以Q(4321,
9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(-13,9),Q(4321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离
PQ4321
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