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《高等数学》(第三版全册电子教案完整版教学设计
第一章1.1.1反函数
教学目标:
(1)复习、理解函数(含分段函数)的概念、函数的性质、几种常见函数;
(2)学习反函数的概念,及反正弦函数、反余弦函数、反正切函数;
(3)介绍微软高级计算器Mathematics4.0。
教学重点:
(1)函数知识复习(衔接高职阶段知识);
(2)反函数。
教学难点:
反函数的概念
授课时数: 2课时
教学过程
过程
备注
引言
介绍本学科学习要求及本章主要内容。
知识回顾
我们曾经学习过函数的概念.大家知道,在某个变化过程中,有两个变量和,设是实数集的某个子集,如果对于任意的,按照确定的法则,变量总有唯一确定的数值与之对应,那么变量叫做变量的函数,记作.其中叫做自变量,叫做因变量,实数集叫这个函数的定义域.
自变量取定义域D中的数值时,对应的数值叫做函数在点处的函数值,记作或.当遍取内的所有数值时,对应函数值所组成的集合叫做函数的值域.
定义域和对应法则是函数的两个要素.
在定义域的不同子集内,对应法则由不同的解析式所确定的函数称为分段函数.例如,
其中,称为分段函数的分段点.
函数性质:单调性、奇偶性、有界性、周期性。
学习过的几类函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数。
通过幻灯片演示引领学生回顾
30′
问题
一个装有液体的圆柱形容器,其底面直径为D,高为h,则容器内液体体积y与液面高度x的函数关系为
.
知道液面高度x,就可以知道容器内液体体积y.反过来,知道了容器内液体体积y,如何求得液面高度x呢?
引领学生讨论完 成
35′
新知识
解决提出的问题之前,先来研究函数图像的一个特征.
作出函数与函数的图像(图1-2).观察图像发现,函数的图像(图1-2(1))与任何水平直线相交的交点最多有一个,具有这种特征的函数称为一对一函数;而函数的图像(图1-2(2))与水平直线相交的交点会多于1个,具有这种特征的函数称为非一对一函数.
(1) (2)
图1-2
对于一对一函数,值域中的每个函数值只有唯一的一个自变量值与之对应,因此可以用函数y来表示自变量x.例如,可以写成,这样就构成一个以函数值y为自变量的新函数,叫做原来函数的反函数.按照数学习惯,仍然用字母x表示自变量,用字母y表示函数.这样,函数的反函数就是.
函数的反函数一般记作.如的反函数为.
函数与其反函数的关系如图1-3所示.
图1-3
显然,函数的定义域是反函数的值域,函数的值域是反函数的定义域.
求一对一函数的反函数的基本步骤是:
用函数y来表示自变量x;
自变量和函数互换字母.
动画演 示
45′
知识巩固
例1 求函数的反函数,并在同一个直角坐标系内作出它们的图像.
解 函数的定义域为,值域为.
将两边平方,整理得 .
互换字母得 .
由于函数的值域为,故函数的反函数的定义域为.因此所求反函数为
().
函数的图像如图1-4所示.
图1-4
学生练习教师检查辅 导
55′
链接软件
利用Microsoft Mathematic4.0(简体中文版)作出函数的图像
演示
60′
新知识
显然,不同角的同名三角函数值有可能相等,例如.也就是说.正弦函数图像与平行于x轴的直线的交点会多余一个(图1-6),所以三角函数不是一对一的函数.
图1-6
为保证三角函数存在反函数,需要改变三角函数的定义域,使之在所定义的区间上为一对一的函数.因此将反三角函数定义如下:
正弦函数上的反函数叫做反正弦函数,记作,其定义域为[-1,1], 值域为 ,函数图形如图1-7(1)所示..
余弦函数在上的反函数叫做反余弦函数,记作,其定义域为[-1,1],值域为 ,函数图形如图1-7(2)所示.
正切函数在上的反函数叫做反正切函数,记作,其定义域为,值域为 ,函数图形如图1-7(3)所示.
(1) (2) (3)
图1-7
教师讲 授
80′
做一做
利用高级计算器依次作出反正弦函数、反余弦函数、反正切函数的图像并分析函数的性质.
教师演 示
82′
练习题
求出下列函数的反函数,并在同一个直角坐标系内作出它们的图像.
(1); (2).
学生课上完 成
88′
小结
新知识:反函数
90′
作业
1.进一步梳理高中阶段函数
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