线线垂直、线面垂直、面面垂直的习题与答案解析.docx

线线垂直、线面垂直、面面垂直部分习及答案 (1)求证：BC⊥AD；2 如图，在三棱锥 S—ABC (1)求证：BC⊥AD； 2 如图，在三棱锥 S—ABC 中，SA⊥平面 ABC， 平面SAB⊥平面SBC． （1）求证：AB⊥BC； (第 1 题) 如图，四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PA⊥底面 ABCD， E 为 AB 的中点，且PA=AB． （1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点 A 到平面PCE 的距离． 如图 2-4-2 所示，三棱锥S—ABC 中，SB=AB，SC=AC，作 AD⊥ BC 于 D，SH⊥AD 于H， 求证：SH⊥平面 ABC. 如图所示，已知 Rt△ABC 所在平面外一点 S，且 SA=SB=SC，点 D 为斜边AC 的中点. 求证：SD⊥平面ABC； 若 AB=BC，求证：BD⊥平面SAC. 证明：在正方体ABCD－A B C D 中，A C⊥平面BC D 1 1 1 1 1 1 D C B1D B 1 D B A 1 C A 如图所示，直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=1，，侧棱，侧面的两条对角线交点为D，的中点为M. 求证：CD⊥平面 BDM. 在三棱锥Ａ－BCD 中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作 AH⊥BE 于Ｈ．求证：AH⊥平面 BCD． 如图，过 S 引三条长度相等但不共面的线段 SA、SB、SC，且∠ ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC． 如图，在长方体ABCD—A B C D 中，AB＝2，BB ＝BC＝1，E 为 D C 1 1 1 1 1 1 1 的中点，连结ED，EC，EB 和DB． (1)求证：平面 EDB⊥平面 EBC； (2)求二面角 E－DB－C 的正切值. 11：已知直线 PA 垂直于圆 O 所在的平面，A 为垂足，AB 为圆 O 的直径，C 是圆周上异于A、B 的一点。求证：平面PAC 平面PBC。 12.. 如图 1-10-3 所示，过点 S 引三条不共面的直线，使∠BSC=90°， ∠ASB=∠ASC=60°，若截取 SA=SB=SC. 求证：平面 ABC⊥平面 BSC 2如 图 1-10-5 所 示 ， 在 四 面 体 ABCD 中 ， BD= a, 2 AB=AD=BC=CD=AC=a. 求 证 ： 平 面 ABD ⊥ 平 面 BCD. 如图所示，△ ABC 为正三角形， CE⊥平面 ABC， BD∥CE，且CE=AC=2BD，M 是 AE 的中点，求证：(1)DE=DA；(2)平面 BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA． 如图所示，已知PA⊥矩形ABCD 所在平面，M、N 分别是AB、PC 的中点． 求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若∠PDA=45°， 求证：MN⊥平面 PCD． 如图 1，在正方体ABCD ? A B C D 中， M 为CC 的中点，AC 交BD 1 1 1 1 1 于点O，求证： AO ? 平面MBD 1 1. 证明 1. 证明：(1)取 BC 中点O，连结AO，DO． ∵△ABC，△BCD 都是边长为 4 的正三角形， ∴AO⊥BC，DO⊥BC，且 AO∩DO＝O， ∴BC⊥平面 AOD．又 AD? 平面AOD， ∴BC⊥AD． 【证明】作AH⊥SB 于H，∵平面SAB⊥平面SBC．平面SAB∩平面SBC=SB，∴AH⊥平面SBC， 又SA⊥平面 ABC，∴SA⊥BC，而 SA 在平面SBC 上的射影为SB， ∴BC⊥SB，又SA∩SB=S， ∴BC⊥平面 SAB．∴BC⊥AB． 【证明】PA⊥平面ABCD，AD 是PD 在底面上的射影， 又∵四边形 ABCD 为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥PD，∵AD∩PD=D∴ CD⊥面PAD，∴∠PDA 为二面角P—CD—B 的平面角， ∵PA=PB=AD，PA⊥AD∴∠PDA=45°，取 Rt△PAD 斜边 PD 的中点F，则AF⊥PD，∵AF ? 面 PAD ∴CD⊥AF， 又 PD∩CD=D∴AF⊥平面 PCD，取 PC 的中点 G，连 GF、AG、EG， 1 1 则GF 2 CD 又AE 2 CD， ∴GF AE∴四边形 AGEF 为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PDC 又EG ? 平面PEC， ∴平面PEC⊥平面 PCD． （2）【解】由（1）知 AF∥平面PEC，平面PCD⊥平面 PEC，过F 作FH⊥PC 于H，则 FH⊥平面PEC ∴FH 为 F 到平面 PEC 的距离，即为 A 到平面 PEC 的距离．在△ PFH 与 △PCD 中，∠P 为公共角， FH PF 8 ? 4而∠FHP=∠CDP=90°，∴△PFH∽△PCD．∴ CD ? PC