线性代数概念的几何引入.pptx

线性代数概念的几何引入 ;二元、三元线性方程组的几何意义; ; 以方程组(1)为例:在MATLAB的M文件编辑器中,输入 syms x1 x2 % 定义x1、x2为符号变量 U1=rref([1,2,5;2,-3,-4]) % 把增广矩阵通过初等行变换 % 变为最简阶梯矩阵 subplot(2,2,1) % 准备画2×2个图形中的第一个 ezplot(x1+2*x2=5) % 绘制直线x1+2*x2=5 hold on % 保留原来图形 ezplot(2*x1-3*x2=-4) % 再绘制直线2*x1-3*x2=-4 title(x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4) % 在图上标注x1+2*x2=5 2*x1-3*x2=-4 grid on % 显示网格;绘制图形如图1所示:; 方程组(1)的解为 ; 方程组(2)的通解为: ; 方程组(3)和方程组(4)这两个方程组无解。; 方程组(1)的两条直线有一个交点,故有唯一解(适定); 方程组(2)的两条直线重合,则有无穷组解(欠定); 方程组(3)的两条直线相平行,永远没有交点,即无解; 方程组(4)的三条直线不共点,则也无解(超定),可求最小二乘解。 ; 三个三元一次方程构成的方程组: 若三个平面只有一个交点,即方程组有唯一解; 若三个平面相交于一直线,即方程组有无穷多解; 若三个平面没有交点或交线,即方程组无解。 ; ;利用MATLAB的M文件编辑器绘图可得: 图2 三元线性方程组解的几何意义;方程组(1)的解为三个平面的交点,故该方程组有唯一解; 方程组(2)的三个平面刚好相交于同一条直线,该齐次线性方程组有无穷多解,且其对应的解空间是一维的; 方程组(3)的三个平面没有共同的交点,即方程组无解; 方程组(4)也无解。; 二阶、三阶行列式的几何意义; 依照二阶行列式的定义,该平行四边形的面积刚好是以A、B两点坐标所构成的二阶行列式:; 三维情形 已知三个向量 由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为 三阶行列式的绝对值 (如图) ;平面上线性变换(y=Ax)的几何意义;绘制图形如下图所示: 图3 线性变换的几何意义; 例4、设二维平面上第一象限中的一个单位方块, 其四个顶点的数据可写成 把不同的A 矩阵作用于此组数据,能够得到多种多样的结果 Ci = AiB。 令B=(X1,X2,X3,X4),则 AiB=Ai(X1,X2,X3,X4)=(AiX1,AiX2,AiX3,AiX4); 用MATLAB程序进行计算,并画出B及C图形: B=[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1), fill([B(1,:),0],[B(2,:),0],r) A1=[-1,0;0,1],C1=A1*B subplot(2,3,2), fill([C1(1,:),0],[C1(2,:),0],g); 绘制几何图形可得:;对二维空间(平面),行列式的几何意义实际上是两个向量所构成的平行四边形的面积。 一个变换所造成的图形的面积变化,取决于该变换矩阵的行列式,A1 ,A4 和A5 的行列式绝对值都是1,因此变换后图形的面积不改变。而A2 和A3 的行列式分别为1、5和0、5,变换后图形的面积的增加或减少倍数等于对应行列式的绝