线性代数方程组的迭代法.pptx

线性代数方程组的迭代法 ;图7、1、1 绗架的受力分析图; 假如整个绗架处以平衡状态,每个支点的合力应为零向量, 因此每个支点上力的水平分量和垂直分量之和都应该为零。由 此可得到一个如表 7、1、1所示的线性方程组,该方程组中的系数 矩阵中含有46个零元素,而仅有18个非零元素,通常把含有大 量零元素的矩阵称为稀疏矩阵,由于使用直截了当法求解这类方程 组,会破坏系数矩阵的稀疏性,这种情况下一般采纳迭代法求 解方程组。;? 问 题 ? 在实际应用中遇到的系数矩阵多为大型稀疏矩阵,如用求解线性方程组的直截了当法求解,在计算机上会耗费大量的时间和存储单元。在许多应用问题中使用迭代法。;思路;迭代格式的构造;将上式写为迭代过程 这种迭代过程称为逐次逼近法,B 称为迭代矩阵。 ;问题:;迭代法的收敛条件;注:要检验一个矩阵的谱半径小于1比较困难,因此我们希望用别的方法判断收敛性。 ;定理 4;①;（4.1） ;若系数矩阵非奇异，且 (i = 1, 2,…, n)，将方程组;然后写成迭代格式;写成矩阵形式:; Algorithm: Jacobi Iterative Method Solve .Given an initial approximation . Input: the number of equations and unknowns n; the matrix entries a[ ][ ]; the entries b[ ]; the initial approximation X0[ ]; tolerance TOL; maximum number of iterations Mmax. Output: approximate solution X[ ] or a message of failure. Step 1 Set k = 1; Step 2 While ( k ? Mmax) do steps 3-6 Step 3 For i = 1, …, n Set ; /* compute xk */ Step 4 If then Output (X[ ]); STOP; /* successful */ Step 5 For i = 1, …, n Set X 0[ ] = X [ ]; /* update X0 */ Step 6 Set k ++; Step 7 Output (Maximum number of iterations exceeded); STOP. /* unsuccessful */;… … … …;;定理5 n阶矩阵A是按行严格对角占优矩阵的充分必要条件是Jacobi迭代法的迭代矩阵满足 ‖BJ‖∞1、; Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性;定理 9 若A是n阶正定矩阵,那么,G-S迭代法收敛、;注意的问题;(3)Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的特征方程:;Gauss-Seidel迭代;举例;系数矩阵A是正定矩阵,因此用 Gauss-Seidel法收敛、;感谢您的聆听！