随机变量数字特征习题课.docx

第 12 讲 随机变量的数字特征习题课 教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。 教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数学期望和方差。 教学难点：随机变量函数的数学期望。教学时数：2 学时 教学过程： 一、知识要点回顾 随机变量 X 的数学期望 E( X ) 对离散随机变量 E( X ) ? ? x i  p(x ) i i 若i ? 1,2, ，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。 对连续随机变量 E( X ) ? ? ?? xf (x)dx ?? 假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。 随机变量 X 的函数 g( X ) 的数学期望 E[g( X )]，其中 g( X ) 为实函数。 对离散随机变量 E[g ( X )] ? ? g (x )p(x ) i i i 对连续随机变量 E[g( X )] ? ??? g(x) f (x)dx ?? 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 二维随机变量 ( X ,Y ) 的函数 g( X ,Y ) 的数学期望 E[g( X ,Y )] ，其中 g( X ,Y ) 为二元 实函数。 对离散随机变量 E[g( X ,Y )] ? ?? g(x , y i j  ) p(x , y ) i j i j 对连续随机变量 E[g( X ,Y )] ? ??? ??? g (x, y) f (x, y)dxdy ?? ?? 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在） E(c) ? c, (c为常数) E(cX ) ? cE( X ), (c为常数) E(aX ? b) ? aE( X ) ? b, (a, b为常数) 18. E( X ? Y ) ? E( X ) ? E(Y ) E(?n c X ) ? ?n i i  c E( X ) i i i?1 i?1 若 X ,Y 相互独立，则 E( XY ) ? E( X )E(Y ) 。 若 X , X , , X 相互独立，则 E( X X X ) ? E( X )E( X ) E( X ) 。 1 2 n 1 2 n 1 2 n 随 机 变 量 X 的 方 差 D( X ) ? E{[ X ? E( X )]2} ? E( X 2 ) ?[E( X )]2 ， 这 里 假 定 E( X ), E( X 2 ) 都存在。 方差的性质 24. D(c) ? 0, (c为常数) D(cX ) ? c2 D( X ), (c为常数) D(aX ? b) ? a2 D( X ), (a, b为常数) 若 X ,Y 相互独立，则 D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) 。 若 X , X , , X 相互独立， c , c , , c 为常数，则 D(?n c X ) ? ?n  c2 D( X ) 。 1 2 n 1 2 n i i i i 随机变量 X 的k 阶原点矩 ? ( X ) ? E( X k ) k 随机变量 X 的k 阶中心矩 ? ( X ) ? E{[ X ? E( X )]k } k i?1 i?1 易知，? 1 ( X ) ? E( X ), ? 1 ( X ) ? 0, ? 2 ( X ) ? D( X ) 。 随机变量 X 与Y 的协方差 33. cov( X ,Y ) ? E{[ X ? E( X )][Y ? E(Y )]} ? E( XY ) ? E( X )E(Y ) D(aX ? bY ) ? a2 D( X ) ? b2 D(Y ) ? 2ab cov( X ,Y ), (a, b为常数) cov( X ,Y ) ? cov(Y , X ) cov(aX , bY ) ? ab cov( X ,Y ), (a, b为常数) cov( X ? Y , Z ) ? cov( X , Z ) ? cov(Y , Z ) 若cov( X ,Y ) ? 0 ，则称 X 与Y 不相关。若随机变量 X 与Y 相互独立，则 X 与Y 一定不相关，反之不成立。 D( X ) D(Y )随机变量 X 与Y D( X ) D(Y ) 40. | R( X ,Y ) |? 1 41. Y ? a ? bX ?| R( X ,Y ) |? 1 cov( X ,Y ) 切比雪夫不等式：若随机变量 X 的数学期望 E( X ) 与方差 D( X ) 存在，则对任意正 数? 有  P ??  X ? E( X ) ? ? ?? ?  D( X ) ? 2 由切比雪夫不等式可证明切比雪夫定理，进而推出伯努利定理。后面两个