考研数学概率论与数理统计常用公式.docx

考研数学概率论与数理统计常用公式 1．随机事件及其概率 A ? ? ? ? A ? ? ? A 吸收律： A ? ? ? A A ? ? ? ? A ? ( AB) ? A A ? ( A ? B) ? A ? A ? ( AB) A ? B ? AB ? ? ? 反演律： A ? B AB A B A B n n n n Ai ? Ai Ai ? Ai i?1 i?1 i?1 i?1 2．概率的定义及其计算 P( A) ? 1? P( A) A ? B ? P(B ? A) ? P(B) ? P( A) 对任意两个事件 A, B, 有 P(B ? A) ? P(B) ? P( AB) 加法公式：对任意两个事件 A, B, 有 P( A ? B) ? P( A) ? P(B) ? P( AB) P( A ? B) ? P( A) ? P(B) n n ?P( Ai Aj ) ? n P( Ai ) ? ?P( Ai ) ? ?P( Ai Aj Ak ) ? ? (?1)n?1 P( A1 A2 An ) i?1 i?1 1?i? j?n 1?i? j?k ?n 3．条件概率 P?B A?? P( AB) P( A) 乘法公式 P( AB) ? P( A)P?B A? (P( A) ? 0) P( A1 A2 An ) ? P( A1 )P?A2 A1 ? P? An A1 A2An?1 ? 全概率公式 (P( A1 A2 An?1 ) ? 0) n n P( A) ? ?P( ABi ) ? ?P(Bi ) ? P( A Bi ) i ?1 i ?1 第 1 页 共 5 页 Bayes 公式 P(Bk A) ? P( ABk ) ? P(Bk )P( A Bk ) P( A) n ?P(Bi )P( A Bi ) i ?1 4．随机变量及其分布 分布函数计算 P(a ? X ? b) ? P( X ? b) ? P( X ? a) F (b) ? F (a) 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 P( X ? k ) ? pk (1 ? p)1?k , k ? 0,1 二项分布 B(n, p) P ( A ) = p P( X ? k ) ? Cnk pk (1 ? p)n?k , k ? 0,1, , n * Possion 定理 lim npn ? ? ? 0 n?? lim Cnk pnk (1 ? pn )n?k ? e?? ?k 有 k! n?? k ? 0,1,2, (3) Poisson 分布 P(?) P( X ? k ) ? e?? ?k , k ? 0,1,2, k! 6．连续型随机变量 均匀分布 U (a, b) ? 1 , a ? x ? b ? f (x) ? ?b ? a ? 0, 其他 ? 指数分布 E(?)  ? 0, ? ? F(x ) ? ?x a , ? ? a ?b ? 1 ? 第 2 页 共 5 页 ? ??x , x ? 0 ? 0, x ? 0 ??e f (x) ? ? 其他 F (x) ? ? x ? 0 ? 0, 1? e??x , ? ? 正态分布 N (? , ? 2 ) 1 ? ( x?? )2 1 x ? (t ?? )2 f (x) ? e ? ? ? x ? ?? F (x) ? e d t 2? 2 ??? 2? 2 2? ? 2?? * N (0,1) — 标准正态分布 ?(x) ? 1 e ? x2 ? ? ? x ? ?? 2? 2 1 ???x e? t 2 ?(x) ? dt? ? ? x ? ?? 2 2? 7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 F (x, y) ? ???x ???y f (u, v)dvdu 边缘分布函数与边缘密度函数 FX (x) ? ??x? ????? f (u, v)dvdu f X (x) ? ????? f (x, v)dv FY ( y) ? ??y? ????? f (u, v)dudv fY ( y) ? ????? f (u, y)du 连续型二维随机变量 区域 G 上的均匀分布，U ( G ) ? 1 ? , (x, y) ?G f (x, y) ? ? ? A 其他 ? 0, 二维正态分布 ? ( x?? )2 ( x?? )( y ?? ) ? 1 ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 1 2 (1?? 2 ) ? ? ( y ??2 )2 ? ? f ( x, y) ? ? e ? ? 1 2 ? ? ? x ? ??,?? ? y ? ?? 第 3 页 共 5 页 二维随机变量的条件分布 f (x, y) ? f X (